【題目】已知如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個(gè)點(diǎn),且OA=1,OB=3,OC=4

(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P,使得以以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)若點(diǎn)M為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在(2)的條件下,請求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo),并直接寫出|PM﹣AM|的最大值.

【答案】(1);(2)存在,P(5,3);(3)M(1,0)或(﹣5,)時(shí),|PM﹣AM|的值最大,為5

【解析】

試題分析:(1)設(shè)拋物線的解析式為,把A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a,b,c的值,即可確定出所求拋物線解析式;

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,理由為:根據(jù)OA,OB,OC的長,利用勾股定理求出BC與AC的長相等,只有當(dāng)BP與AC平行且相等時(shí),四邊形ACBP為菱形,可得出BP的長,由OB的長確定出P的縱坐標(biāo),確定出P坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí),以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形;

(3)利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí),根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|<PA,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí),|PM﹣AM|=PA,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí),|PM﹣AM|的值最大,即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn),聯(lián)立直線AP與拋物線解析式,求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)M坐標(biāo),確定出|PM﹣AM|的最大值即可.

試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式為,∵A(1,0)、B(0,3)、C(﹣4,0),∴,解得:a=,b=,c=3,∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為;

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,理由為:

∵OB=3,OC=4,OA=1,∴BC=AC=5,當(dāng)BP平行且等于AC時(shí),四邊形ACBP為菱形,∴BP=AC=5,且點(diǎn)P到x軸的距離等于OB,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3),當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí),以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形,則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3)時(shí),以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形;

(3)設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b(k≠0),∵A(1,0),P(5,3),∴,解得:k=,b=,∴直線PA的解析式為,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí),根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|<PA,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí),|PM﹣AM|=PA,∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí),|PM﹣AM|的值最大,即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn),解方程組,得,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)或(﹣5,)時(shí),|PM﹣AM|的值最大,此時(shí)|PM﹣AM|的最大值為5.

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(1)求此拋物線的解析式;

(2)如圖1,將△OMN沿x軸向右平移t個(gè)單位(0≤t≤5)到△O′M′N′的位置,MN′、M′O′與直線AC分別交于點(diǎn)E、F.

①當(dāng)點(diǎn)F為M′O′的中點(diǎn)時(shí),求t的值;

②如圖2,若直線M′N′與拋物線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH∥M′O′交AC于點(diǎn)H,試確定線段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此時(shí)t的值;若不存在,請說明理由.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)證明:△DBO∽△EBC;

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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③m(2a+b)+n(2a+b);、2am+2an+bm+bn,你認(rèn)為其中正確的有( 。

A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

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