Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)B是其頂點(diǎn)，∠AOB＝45°，OC⊥OB交此拋物線于點(diǎn)C，動(dòng)直線y＝kx與拋物線交于點(diǎn)D，分別過點(diǎn)B、C作BE、CF垂直動(dòng)直線y＝kx于點(diǎn)E、F．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)直線y＝kx把∠AOC分成的兩個(gè)角的度數(shù)之比恰好為1：2時(shí)，求k的值；

(3)BE+CF是否存在最大值？若存在，請(qǐng)直接寫出此最大值和此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝；(2)k=或k=2-；(3)存在，BE+CF＝4，此時(shí)k=-2.

【解析】

(1)過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出解析式；

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，分兩種情況：∴①當(dāng)∠AOD＝30°時(shí)，過點(diǎn)D作DP⊥x軸于點(diǎn)P，可求出k的值；②當(dāng)∠COD＝30°時(shí)，如圖，設(shè)CQ與OF的交點(diǎn)為K，過點(diǎn)D作DP⊥x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)K作KN⊥OC于N，證明△ADP∽△AKQ，求出CN、CK、KQ的長，則k的值可求出；

(3)連接BC，由垂線段最短可知BE+CF≤BC，當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝kx與BC垂直，即點(diǎn)E、F重合時(shí)，BE+CF＝BC，此時(shí)BE+CF取得最大值，可求出最大值和k的值．

解：(1)∵A(4，0)，

∴OA＝4，

過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，

∴∠OHB＝90°，OH＝AH＝2，

∵∠AOB＝45°，

∴∠OBH＝∠AOB＝45°，

∴OH＝BH＝2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，﹣2)，

∴ ，

解得， ，

∴此拋物線的解析式為y＝；

(2)如圖2，過點(diǎn)C作CQ⊥x軸于點(diǎn)Q，

∵OC⊥OB，∠AOB＝45°，

∴∠COA＝∠AOB＝45°，

∴CQ＝OQ，

∴=x，解得，x1＝0，x2＝6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，6)，

∵直線y＝kx把∠AOC分成的兩個(gè)角的度數(shù)之比恰好為1：2，

∴①當(dāng)∠AOD＝30°時(shí)，過點(diǎn)D作DP⊥x軸于點(diǎn)P，

k＝=tan30°=，

②當(dāng)∠COD＝30°時(shí)，如圖3，設(shè)CQ與OF的交點(diǎn)為K，過點(diǎn)D作DP⊥x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)K作KN⊥OC于N，

∴DP∥CQ，∠CNK＝∠ONK＝90°，

∴ ，

∴k＝ ，

又∵∠OCQ＝45°，

∴CN＝KN，CK＝，

∴OC＝ON+NC＝(+1)CN，

∵∠BOC＝90°，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(2，﹣2)，(6，6)∠COF＝∠AOB＝45°，

∴OB＝ ，OC＝，

∴ ，

∴CN＝3 ，

∴ ，

∴KQ＝CQ﹣CK＝6﹣(6-6)＝12﹣6，

∴k＝==2-，

(3)如圖4，連接BC，由垂線段最短可知BE+CF≤BC，

當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝kx與BC垂直，即點(diǎn)E、F重合時(shí)，BE+CF＝BC，此時(shí)BE+CF取得最大值，

∴BE+CF＝=4，

D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，﹣1.5)．

k＝﹣2．