Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），G（﹣1，0）兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)M時(shí)拋物線在第一象限圖象上的一點(diǎn)，求△ABM面積的最大值；

（3）拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E（0， ）作x軸的平行線，交AB于點(diǎn)F，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）△ABM面積的最大值是；

（3）存在； Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣， ）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得ME的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

（3）即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性．

試題解析：（1）將A、G點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）作ME⊥x軸交AB于E點(diǎn)，如圖1

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）

直線AB的解析式為y=﹣x+3，

設(shè)M（n，﹣ n2+2n+3），E（n，﹣n+3），

ME═﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）=﹣n2+5n，

S△ABM=MExA=（﹣n2+5n）×3=﹣（n﹣）2+，

當(dāng)n=時(shí)，△ABM面積的最大值是；

（3）存在；理由如下：

OE=，AP=2，OP=1，BE=3﹣=，

當(dāng)y=時(shí)，﹣ x+3=，解得x=，即EF=

將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3），

∵OB⊥EF，

∴點(diǎn)B'在直線EF上，

∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO長(zhǎng)度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO﹣PO長(zhǎng)度，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣， ﹣1），

過(guò)F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，

則△FEQ∽△B'EC，

由 =，

可得Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；

根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q'（﹣， ）也符合條件．