Question

【題目】綜合題
（1）【結(jié)論再現(xiàn)】如圖①，在 中， ， ，則 ， ．

（2）【問題解決】
如圖②，四邊形 是一張邊長(zhǎng)為 的正方形紙片， 、 分別為 、 的中點(diǎn)，沿過點(diǎn) 的折痕將紙片翻折，使點(diǎn) 落在 上的點(diǎn) 處，折痕交 于點(diǎn) ，求 的度數(shù)和 的長(zhǎng)．

（3）【問題探究】
如圖③，點(diǎn) 是等腰 斜邊 所在直線上一點(diǎn)，且滿足 ，求 的大小和此時(shí) 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ,
（2）解：∵ 折疊后得到 ，

∴ ，且 ，

∴在 中， ，sin∠FA′D= = ，

∴ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

又∵在 中， ，那么 ，

∴ ，

∴ ，

則 ，

那么

（3）解：如圖，

①當(dāng) 在 邊上時(shí)，將線段 繞點(diǎn) 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 得到線段 ，連接 ，

與（1）同理可證 ≌ ，

∴ ， ，

∵ ，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ,

∴四邊形 ． 、 ． 四點(diǎn)共圓，

∴ ，

∴ ．

②當(dāng) 在 延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段 繞點(diǎn) 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 得到線段 ，連接 ．

同理可證： ，

∵ ,∴四邊形 ． ． 、 四點(diǎn)共圓，∴ ，

∴ ，

綜上， 的度數(shù)為 或 ．

比值計(jì)算如下：

過點(diǎn) 作 ，如圖，

則在 中， ， ，∴ ， ，

在 中， ，

設(shè) ， ，∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出∠B的度數(shù)及的值。
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)先求出∠FAD、∠EA′G的度數(shù)，再利用勾股定理在Rt△A′FD中求出A′F的長(zhǎng)，即可得出A′E的長(zhǎng)，再利用直角三角形的性質(zhì)得出A′G的長(zhǎng)，然后求出EG的長(zhǎng)，從而得到BG的長(zhǎng)。
（3）根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況討論：①當(dāng) D 在 B C 邊上時(shí)，將線段 A D 1 繞點(diǎn) A 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 ° 得到線段 AE ，連接 BE ，先證明△ABE ≌ △ACD1 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值求出 ∠BD1E=30°，得到四邊形 A ． D1 、 B ． E 四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓周角定理即可求出結(jié)果；②當(dāng) D 在 B C 延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段 A D 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 ° 得到線段 A F ，連接 C F ．同①的方法類似求出結(jié)果即可，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出AD=,再求出ED的長(zhǎng)，然后根據(jù)AD=x，即可求出結(jié)果。