Question

【題目】[發(fā)現(xiàn)]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上（如圖①）

（1）[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D還在經(jīng)過(guò)A， B，C三點(diǎn)的圓上嗎？

（2）我們知道，如果點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，那么點(diǎn)D要么在圓O外，要么在圓O內(nèi)，以下該同學(xué)的想法說(shuō)明了點(diǎn)D不在圓O外。
請(qǐng)結(jié)合圖④證明點(diǎn)D也不在⊙O外.


[結(jié)論]綜上可得結(jié)論：如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，即：點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
[應(yīng)用]利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：
如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得△ADE，連接BE CD，延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)F，

圖⑤
①求證：點(diǎn)B、C、A、F四點(diǎn)共圓；②求證：BF=EF.

Answer 1

【答案】
（1）如圖，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE；則∠AEB=∠ACB

∵∠ADB是△DBE的一個(gè)外角

∴∠ADB＞∠AEB

∴∠ADB＞∠ACB

這與條件∠ACB=∠ADB矛盾

∴點(diǎn)D不在⊙O內(nèi)

（2）①證明：∵AC=AD，AB=AE，

∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，

∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，

∴∠ACD=∠ABE，

∴B、C、A、F四點(diǎn)共圓

②證明：∵B、C、A、F四點(diǎn)共圓，

∴∠BFA+∠BCA=180°，

∵∠ACB=90°，∴∠BFA=90°，

∴AF⊥BE，

∵AB=AE，

∴BF=EF

【解析】利用已知的結(jié)論，四邊形的兩對(duì)角線所分四個(gè)內(nèi)角所成的8個(gè)角中，若所對(duì)同一條邊的兩個(gè)角相等，則這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出一對(duì)角相等即可.