Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“親密點(diǎn)”．即：當(dāng)x≥0時，點(diǎn)P（x，y）的“親密點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為（x，y+1）；當(dāng)x＜0時，點(diǎn)P（x，y）的“親密點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為（x，-y）．例如：點(diǎn)（1，2）的“親密點(diǎn)”為點(diǎn)（1，3），點(diǎn)（-1，3）的“親密點(diǎn)”為點(diǎn)（-1，-3）．

（1）點(diǎn)（2，-3）的“親密點(diǎn)”為______；______的“親密點(diǎn)”是（-2，-5）．

（2）點(diǎn)M（m+1，5）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點(diǎn)N的“親密點(diǎn)”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)P在函數(shù)y=x2-2x-3的圖象上．則其“親密點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′關(guān)于x的函數(shù)圖象大致正確的是______．

（4）若點(diǎn)P在二次函數(shù)y=x2-2x-5的圖象上，當(dāng)-2＜x≤a時，其親密點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)y′滿足-5≤y′≤5，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，-2），（-2，5）；（2）N1（1，4），N2（-2，-5）；（3）B；（4）1≤a≤1+

【解析】

（1）根據(jù)“親密點(diǎn)”的定義即可求得；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)m+1≥0時，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為5，令5=y+1，則y=4，把y=4代入y=x+3求得x的值，即M（1，4）；當(dāng)m+1＜0時，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-5，代入y=x+3求得x的值，即M（-2，-5）；（3）根據(jù)函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，依據(jù)“親密點(diǎn)”的定義找出y′關(guān)于x的函數(shù)圖象，由此即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)“親密點(diǎn)”的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

（1）點(diǎn)（2，-3）的“親密點(diǎn)”為（2，-2），（-2，5）的“親密點(diǎn)”是（-2，-5）．

故答案為（2，-2），（-2，5）；

（2）N1（1，4），N2（-2，-5），

（3）由函數(shù)y=x2-2x-3=（x-3）（x+1）可知：拋物線開口向上，與x軸有兩個交點(diǎn)，交y軸與負(fù)半軸，所以將y軸左側(cè)的圖象關(guān)于x軸顛倒過來，將y軸右側(cè)的圖象向上平移1個單位，即可得出y′關(guān)于x的函數(shù)圖象．

故選B；

（4）由題意，得

y=x2-2x-5的圖象上的點(diǎn)P的親密點(diǎn)Q必在函數(shù)

y′=的圖象上，

當(dāng)x=-2時，-x2+2x+5=5，

∵y′=-x2+2x+5＞-5（x＜0），

∴y′=-5在y′=x2-2x-4（x≥0）上，y′=5在y′=x2-2x-4（x≥0）上，

∴-5=x2-2x-4，

解得x=1，

∴5=x2-2x-4，

解得x=1+，x=1-（舍去），

∴1≤a≤1+ ．