Question

【題目】如圖①，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點(diǎn)．
如圖②，若整個(gè)△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時(shí)，點(diǎn)P從△EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，△EFG也隨之停止平移．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），FG的延長(zhǎng)線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2）（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OP∥AC；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）

Answer 1

【答案】（1）1.5s；（2）S=x2+x+3（0＜x＜3）；（3）當(dāng)x=（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．

【解析】

（1）由于O是EF中點(diǎn)，因此當(dāng)P為FG中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG∥AC，據(jù)此可求出x的值．

（2）由于四邊形AHPO形狀不規(guī)則，可根據(jù)三角形AFH和三角形OPF的面積差來(lái)得出四邊形AHPO的面積．三角形AHF中，AH的長(zhǎng)可用AF的長(zhǎng)和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達(dá)式（也可用相似三角形來(lái)得出AH、FH的長(zhǎng)）．三角形OFP中，可過(guò)O作OD⊥FP于D，PF的長(zhǎng)易知，而OD的長(zhǎng)，可根據(jù)OF的長(zhǎng)和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．

（3）先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積，然后將其代入（2）的函數(shù)式中即可得出x的值．

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC

∴，即,

∴FG==3cm

∵當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG，EG∥AC

∴OP∥AC

∴x==×3=1.5（s）

∴當(dāng)x為1.5s時(shí)，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm

∵EG∥AH

∴△EFG∽△AFH

∴,

∴AH=（x+5），F(xiàn)H=（x+5）

過(guò)點(diǎn)O作OD⊥FP，垂足為D

∵點(diǎn)O為EF中點(diǎn)

∴OD=EG=2cm

∵FP=3﹣x

∴S四邊形OAHP=S△AFH﹣S△OFP

=AHFH﹣ODFP

=（x+5）（x+5）﹣×2×（3﹣x）

=x2+x+3（0＜x＜3）．

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24

則S四邊形OAHP=×S△ABC

∴x2+x+3=××6×8

∴6x2+85x﹣250=0

解得x1=，x2=﹣（舍去）

∵0＜x＜3

∴當(dāng)x=（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．