精英家教網(wǎng)如圖,直線y=3x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由直線y=3x+3交x軸于A點,交y軸于B點,即可求得點A與B的坐標,又由過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0),利用兩點式法即可求得拋物線的解析式;
(2)分別從AB=BQ,AQ=BQ,AB=AQ三方面去分析,注意抓住線段的求解方法,借助于方程求解即可求得答案.
解答:解:(1)∵當x=0時,y=3,
當y=0時,x=-1,
∴A(-1,0),B(0,3),
∵C(3,0),
設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),
∴3=a×1×(-3),
∴a=-1,
∴此拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3;

(2)存在.
①∵拋物線的對稱軸為:直線x=
-1+3
2
=1,
∴如圖對稱軸與x軸的交點即為Q1,精英家教網(wǎng)
∵OA=OQ1,BO⊥AQ1,
∴當Q1B=AB時,設Q(1,q),
∴1+(q-3)2=10,
∴q=0,或q=6,
∴Q(1,0)或Q(1,6)(在直線AB上,舍去).
當Q2A=Q2B時,設Q2的坐標為(1,m),∴22+m2=12+(3-m)2,
∴m=1,
∴Q2(1,1);
當Q3A=AB時,設Q3(1,n),
∴22+n2=12+32,
∴n=±
6

∴Q3(1,
6
),Q4(1,-
6
).
∴符合條件的Q點坐標為Q1(1,0),Q2(1,1),Q3(1,
6
),Q4(1,-
6
).
點評:此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式與等腰三角形的性質(zhì)等知識.此題難度適中,注意分類討論思想,方程思想與數(shù)形結合思想的應用是解此題的關鍵,還要注意別漏解.
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(1)求A、B的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點坐標;若不存在,請說明理由.

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kx
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(2)請你連OM、OG、GM,并求S△OGM
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