Question

如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．
（1）求A、B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線的解析式y(tǒng)=3x+3，當x=0和y=0時就可以求出點A、B的坐標．
（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據A、B、C三點的坐標利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（3）將拋物線化為頂點式，求出對稱軸對稱軸，設出Q點的坐標，利用等腰三角形的性質，根據兩點間的距離公式就可以求出Q點的坐標．

解答：解：（1）∵y=3x+3，
∴當x=0時，y=3，當y=0時，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3）．

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意，得

0=a-b+c 3=c 0=9a+3b+c

，
解得

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4
∴拋物線的對稱軸為x=1，設Q（1，a），
（1）當AQ=BQ時，如圖，
由勾股定理可得
BQ=

BF2+QF2

=

(1-0)2+(3-a)2

，
AQ=

AD2+QD2

=

22+a2

得

(1-0)2+(3-a)2

=

22+a2

，解得
a=1，
∴Q（1，1）；
（2）如圖：
當AB是腰時，Q是對稱軸與x軸交點時，AB=BQ，
∴

(1-0)2+(a-3)2

=

10

解得：a=0或6，
當Q點的坐標為（1，6）時，其在直線AB上，A、B和Q三點共線，舍去，
則此時Q的坐標是（1，0）；
（3）當AQ=AB時，如圖：

22+a2

=

10

，解得a=±

6

，則Q的坐標是（1，

6

）和（1，-

6

）．
綜上所述：Q（1，1），（1，0），（1，

6

），（1，-

6

）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求函數的解析式，等腰三角形的性質及判定，兩點間的距離公式的運用．