如圖,直線y=3x-3交x軸于B,交y軸于C,以O(shè)C為邊作正方形OCEF,E F交雙曲線y=
kx
于點(diǎn)M.且FM=OB.
(1)求k的值.
(2)請你連OM、OG、GM,并求S△OGM
(3)點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn),點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn),請?zhí)骄浚菏欠翊嬖邳c(diǎn)P、N,使以B、C、P、N為頂點(diǎn)組成平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)先由直線y=3x-3交x軸于B,交y軸于C可得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)再根據(jù)四邊形OCEF是正方形可知OF=OC=3,由FM=OB即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)E F交雙曲線y=
k
x
于點(diǎn)M即可得出k的值;
(2)先C點(diǎn)縱坐標(biāo)代入y=-
3
x
求出x的值,故可得出CG、GE的長,由(1)知FM=1,故可得出ME=2,根據(jù)S△OGM=S正方形OCEF-S△OFM-S△OCG-S△GEM即可得出結(jié)論;
(3)由于P、N的位置不能確定,故應(yīng)分①當(dāng)以BC為平行四邊形一邊,點(diǎn)P在第二象限的反比例函數(shù)上;當(dāng)以BC為平行四邊形一邊,點(diǎn)P在第四象限的反比例函數(shù)上;當(dāng)以BC為對角線時(shí)三種情況進(jìn)行討論.
解答:解:(1)∵直線y=3x-3交x軸于B,交y軸于C
∴B(1,0),C(0,-3)
∵四邊形OCEF是正方形,
∴OF=OC=3,
又∵FM=OB,
∴M(3,-1),
∵E、F交雙曲線y=
k
x
于點(diǎn)M,
∴k=-3;

(2)∵把y=-3代入y=-
3
x
得x=1,即CG=1,
∴GE=2
由(1)知FM=1,
∴ME=2,
∴S△OGM=S正方形OCEF-S△OFM-S△OCG-S△GEM
=3×3-3×1÷2-3×1÷2-2×2÷2
=9-
3
2
-
3
2
-2=4;

(3)①當(dāng)以BC為平行四邊形一邊,點(diǎn)P在第二象限的反比例函數(shù)上時(shí),yp=OC=3,
∵yp=
-3
xp
,
∴xp=-1,
∴過點(diǎn)P(-1,3);
∵xP-xN=OB=1,
∴xN=-2,
∴N(-2,0);
②當(dāng)以BC為平行四邊形一邊,點(diǎn)P在第四象限的反比例函數(shù)上時(shí),
∵CP∥BN,
∴CP∥x軸,
∴yp=-OC=-3,
∵yp=
-3
xp
,
∴xp=1,
∴P(1,-3),
∴BN=PC=1,
∴N(2,0).
③∵當(dāng)以BC為對角線時(shí)PN必定與BC互相平分,
∴同時(shí)有P、N在BC的兩側(cè),
∴點(diǎn)P在第四象限的反比例函數(shù)上,
∴CP∥BN即CP∥x軸,CP=BN且N在點(diǎn)P的左邊,由②可知P(1,-3),PC=1,
∴xB-xN=PC=1,
∴xN=0,
∴N(0,0).
點(diǎn)評:本題考查的是反比例函數(shù)綜合題,涉及到正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識,難度較大.
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