Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足 = ，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求證：△ADF∽△AED；

（2）求FG的長；

（3）求證：tan∠E= ．

Answer 1

【答案】①證明見解析；

②2；

③證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由垂徑定理可得弧AC=弧AD，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，可得∠ADF=∠AED，，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似的判定定理，即可證得△ADF∽△AED；

（2）根據(jù) = ，CF=2，可得FD=6，故可得CD的長，根據(jù)垂徑定理即可求得CG的長，再根據(jù)CG-CF即可得FG的長。

（3）在Rt△AGF中由勾股定理求得AG的長，根據(jù)垂徑定理和同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，可知∠E=∠ADF，再根據(jù)三角函數(shù)定義即可證得tanE的值.

解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，

∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED；

②∵=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2；

③∵AF=3，FG=2，∴AG=，

tan∠E=．