【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含B,C兩點(diǎn)),將△ABP沿直線AP翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,在CD上有一點(diǎn)M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處,直線PE交CD于點(diǎn)N,連接MA,NA.

(1)發(fā)現(xiàn):
△CMP和△BPA是否相似,若相似給出證明,若不相似說(shuō)明理由;
(2)思考:
線段AM是否存在最小值?若存在求出這個(gè)最小值,若不存在,說(shuō)明理由;
(3)探究:
當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí),求BP的值是多少?

【答案】
(1)

∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,∠CPN+∠NPB=180°,

∴2∠NPM+2∠APE=180°,

∴∠MPN+∠APE=90°,

∴∠APM=90°,

∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,

∴∠CPM=∠PAB.

又∵∠C=∠B=90°,

∴△CMP∽△BPA.


(2)

設(shè)PB=x,則CP=4﹣x.

∵△CMP∽△BPA,

,

∴CM= x(4﹣x).

如圖1所示:作MG⊥AB于G.

∵AM= = ,

∴AG最小值時(shí),AM最小.

∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x(4﹣x)= (x﹣2)2+3,

∴x=2時(shí),AG最小值=3.

∴AM的最小值= =5.


(3)

∵△ABP≌△ADN,

∴∠PAB=∠DAN,AP=AN,

又∵∠PAB=∠EAP,∠AEP=∠B=90°,

∴∠EAP=∠EAN,

∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°.

如圖2:在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK,設(shè)PB=z.

∴∠KPA=∠KAP=22.5°,

∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,

∴∠BPK=∠BKP=45°,

∴PB=BK=z,AK=PK= z,

∴z+ z=4,

∴z=4 ﹣4.

∴PB=4 ﹣4.


【解析】發(fā)現(xiàn):先證明∠MPA=90°,然后依據(jù)同角的余角相等可證明∠CPM=∠PAB,結(jié)合條件∠C=∠B=90°,可證明量三角形相似;
思考:設(shè)PB=x,則CP=4﹣x,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到CM= x(4﹣x),作MG⊥AB于G,依據(jù)勾股定理可得到AM= ,則AG最小值時(shí),AM最小,然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG與x的函數(shù)關(guān)系,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得當(dāng)x=2時(shí),AG最小值=3;
探究:依據(jù)全等三角形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°,在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK,設(shè)PB=z.然后可證明△BPK為等腰直角三角形,故此得到PB=BK=z,AK=PK= z,最后依據(jù)AK+BK=4列出關(guān)于z的方程求解即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題.

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購(gòu)買商品B的數(shù)量(個(gè))

購(gòu)買總費(fèi)用(元)

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4

3

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