【題目】探究與發(fā)現(xiàn):
如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,那么在這一個簡單的圖形中,到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢?下面就請你發(fā)揮你的聰明才智,解決以下問題:
(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說明理由;
(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個問題:
①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C,若∠A=50°,則∠ABX+∠ACX= °;
②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);
③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9,若∠BDC=140°,∠BG1C=77°,求∠A的度數(shù).
【答案】(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由見解析;(2)①40°;②90°;③70°.
【解析】
(1)根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點(diǎn)F,根據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF;
(2)①由(1)的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后把∠A=50°,∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值;
②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,代入∠DAE=50°,∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值,再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠A,易得答案.
③由②方法,進(jìn)而可得答案.
解:(1)連接AD并延長至點(diǎn)F,
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD;
∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,
∴∠BDC=∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD;
∴∠BDC=∠BAC +∠B+∠C;
(2)①由(1)的結(jié)論易得:∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,
又因?yàn)?/span>∠A=50°,∠BXC=90°,
所以∠ABX+∠ACX=90°﹣50°=40°;
②由(1)的結(jié)論易得∠DBE=∠DAE +∠ADB+∠AEB,
∵∠DAE=50°,∠DBE=130°,
∴∠ADB+∠AEB=80°;
∴∠DCE=(ADB+∠AEB)+A=40°+50°=90°;
③由②知,∠BG1C=(ABD+∠ACD)+A,
∵∠BG1C=77°,
∴設(shè)∠A為x°,
∵∠ABD+∠ACD=140°﹣x°,
∴(40﹣x)x=77,
∴14﹣x+x=77,
∴x=70,
∴∠A為70°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,以點(diǎn)A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),再分別以E,F(xiàn)為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線AP,交CD于點(diǎn)M。
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度數(shù);
(2)若CN⊥AM,垂足為N,求證:△ACN≌△MCN。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,G為三角形外一點(diǎn),且△GBC為等邊三角形.
(1)求證:直線AG垂直平分BC;
(2)以AB為一邊作等邊△ABE(如圖2),連接EG、EC,試判斷△EGC是否構(gòu)成直角三角形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若規(guī)定這樣一種運(yùn)算:a△b=(|ab|+a+b),例如:2△3=(|23|+2+3)=3
(1)求3△4和(-3)△(-2)的值;
(2)將1,2,3,…,50這50個自然數(shù),任意分為25組,每組兩個數(shù),現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作a,另一個記作b,代入代數(shù)式(|ab|+a+b)中進(jìn)行計(jì)算,求出其結(jié)果,25組數(shù)代入后可求得25個值,求這25個值的和的最大值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如圖1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,則∠ABC= ;
(2)如圖2,若∠ABC=30°,△ACD是等邊三角形,AB=3,BC=4.求BD的長;
(3)如圖3,若∠ABC=30°,∠ACD=45°,AC=2,B、D之間距離是否有最大值?如有求出最大值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90° 時,可知△ABP∽△PCD.(不要求證明)
(1)探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時,求證:△ABP∽△PCD.
(2)拓展:如圖③,在△ABC中,點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8,CE=6,則DE的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公園的門票價格規(guī)定如下表:
購票張數(shù) | 1 到 50 張 | 51 到 100 張 | 101 到 150張 | 150 張以上 |
每張票的價格 | 12 元 | 10 元 | 8 元 | 超過 150 張的部分 7 元 |
某校七年級(1)(2)兩個班共 104 人,其中(1)班 40 多人,不足 50 人,經(jīng)估算,如果兩個班都以班為單位購票,則一共應(yīng)付 1136 元,問:
(1)若兩班聯(lián)合起來作為一個團(tuán)體購票,可省多少錢?
(2)兩班學(xué)生各有多少人?
(3)若七年級(3)班有 n 人(46<n<55)與(1),(2)班一起去游園,某商家贊助,支付三個班的所有門票費(fèi),則該商家最少花費(fèi) 元(用含 n 的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣5,4),點(diǎn)D在y軸的正半軸上,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=x﹣1與y軸交于點(diǎn)E,將直線AE沿y軸向上平移n(n>0)個單位長度后,得到直線l,直線l經(jīng)過點(diǎn)C時停止平移.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(2)若直線l交y軸于點(diǎn)F,連接CF,設(shè)△CDF的面積為S(這里規(guī)定:線段是面積為0的三角形),求S與n之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出n的取值范圍;
(3)易知AE⊥AD于點(diǎn)A,若直線l交折線AD﹣DC于點(diǎn)P,當(dāng)△AEP為直角三角形時,請直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn),且AB=3BC,若B為原點(diǎn),A點(diǎn)表示數(shù)為6.
(1)求C點(diǎn)表示的數(shù);
(2)若數(shù)軸上有一動點(diǎn)P,以每秒1個單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,請用含t的代數(shù)式表示PB的長;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P運(yùn)動的同時有一動點(diǎn)Q從點(diǎn)A以每秒2個單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相距2個單位長度時,求t的值.
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