Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，G為三角形外一點(diǎn)，且△GBC為等邊三角形．

（1）求證：直線AG垂直平分BC；

（2）以AB為一邊作等邊△ABE（如圖2），連接EG、EC，試判斷△EGC是否構(gòu)成直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）△EGC構(gòu)成直角三角形

【解析】

(1)由GB=GC,得出點(diǎn)G在BC的垂直平分線上,同理得出點(diǎn)A在BC的垂直平分線上,即可得出結(jié)論;
(2)由等邊三角形的性質(zhì)得出GB=BC=GC, EB=BA,∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°,證出∠EBC=∠ABG,由SAS證明△EBC≌△ABG,得出∠ECB=∠AGB,再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

（1）∵△GBC為等邊三角形，∴GB=GC，

∴點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，

又∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，

∴直線AG垂直平分BC；

(2)△EGC構(gòu)成直角三角形，

∵△GBC和△ABE為等邊三角形，

∴GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°，

∴∠EBC=∠ABG，∴△EBC≌△ABG ，

∴∠ECB=∠AGB，∵GB=GC且AG⊥BC，∴∠AGB=∠BGC=30°，

∴∠ECB=30°，

∴∠ECG=90°，即△EGC構(gòu)成直角三角形．