【題目】已知拋物線與x軸交于A60)、B,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,過拋物線上點(diǎn)M13)作MNx軸于點(diǎn)N,連接OM

1)求此拋物線的解析式;

2)如圖1,將△OMN沿x軸向右平移t個(gè)單位(0t5)到△OMN′的位置,MN′、MO′與直線AC分別交于點(diǎn)E、F

①當(dāng)點(diǎn)FMO′的中點(diǎn)時(shí),求t的值;

②如圖2,若直線MN′與拋物線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)GGHMO′交AC于點(diǎn)H,試確定線段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

【答案】(1);(2)1;t=2時(shí),EH最大值為

【解析】

試題分析:(1)設(shè)拋物線解析式為,把點(diǎn)M(1,3)代入即可求出a,進(jìn)而解決問題.

(2))①如圖1中,AC與OM交于點(diǎn)G.連接EO′,首先證明△AOC∽△MNO,推出OM⊥AC,在RT△EO′M′中,利用勾股定理列出方程即可解決問題.

②由△GHE∽△AOC得==,所以EG最大時(shí),EH最大,構(gòu)建二次函數(shù)求出EG的最大值即可解決問題.

試題解析:(1)設(shè)拋物線解析式為,把點(diǎn)M(1,3)代入得a=,∴拋物線解析式為,∴

(2)①如圖1中,AC與OM交于點(diǎn)G.連接EO′.∵AO=6,OC=2,MN=3,ON=1,∴=3,∴,∵∠AOC=∠MON=90°,∴△AOC∽△MNO,∴∠OAC=∠NMO,∵∠NMO+∠MON=90°,∴∠MON+∠OAC=90°,∴∠AGO=90°,∴OM⊥AC,∵△M′N′O′是由△MNO平移所得,∴O′M′∥OM,∴O′M′⊥AC,∵M(jìn)′F=FO′,∴EM′=EO′,∵EN′∥CO,∴,∴,∴EN′=(5﹣t),在RT△EO′M′中,∵O′N′=1,EN′=(5﹣t),EO′=EM′=,∴,∴t=1.

②如圖2中,∵GH∥O′M′,O′M′⊥AC,∴GH⊥AC,∴∠GHE=90°,∵∠EGH+∠HEG=90°,∠AEN′+∠OAC=90°,∠HEG=∠AEN′,∴∠OAC=∠HGE,∵∠GHE=∠AOC=90°,∴△GHE∽△AOC,∴,∴EG最大時(shí),EH最大,∵EG=GN′﹣EN′===,t=2時(shí),EG最大值=,∴EH最大值=,t=2時(shí),EH最大值為

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【探究證明】

1)請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個(gè)證明:“疊弦三角形”(△AOP)是等邊三角形;

2)如圖2,求證:∠OAB=∠OAE

【歸納猜想】

3)圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為 , ;

4)圖n中,“疊弦三角形” 等邊三角形(填“是”或“不是”)

5)圖n中,“疊弦角”的度數(shù)為 (用含n的式子表示)

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【題目】如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接CD,過B作BECD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE,過A作AFAE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證:AE=AF;

(2)求證:CD=2BE+DE.

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【題目】已知:如圖∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D,DEAB,DFAC,垂足分別為E,F

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(1)請(qǐng)畫一條數(shù)軸并在數(shù)軸上表示出四家公共場(chǎng)所的位置;

(2)列式計(jì)算青少年宮與商場(chǎng)之間的距離;

(3)若小新家也位于這條馬路旁,在青少年宮的西邊,且到商場(chǎng)與青少年宮的距離之和等于到醫(yī)院的距離,試求小新家與學(xué)校的距離.

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(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng),如圖11-2-13(2),則α,∠1,∠2之間的關(guān)系為 .

(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上,圖11-2-13(3),則α,∠1,∠2之間有何關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,并說(shuō)明理由.

(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC外,如圖11-2-13(4),則α,∠1,∠2之間的關(guān)系為 .

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