【題目】(1) 如圖1所示,BD,CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC,∠ACB的平分線,試說(shuō)明:∠D=90°+∠A.
(2)探究,請(qǐng)直接寫(xiě)出下列兩種情況的結(jié)果,并任選一種情況說(shuō)明理由:
①如圖2所示,BD,CD分別是△ABC兩個(gè)外角∠EBC和∠FCB的平分線,試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系;
②如圖3所示,BD,CD分別是△ABC一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線,試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①∠A=180°2∠D,理由見(jiàn)解析;②∠A=2∠D,理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)首先利用角平分線性質(zhì)得出∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°,據(jù)此進(jìn)一步加以變形求證即可;
(2)①首先理由角平分線性質(zhì)得出∠EBC=2∠DBC,∠FCB=2∠DCB,然后再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)進(jìn)一步整理得出∠A2(∠DBC+∠DCB)=-180°,據(jù)此進(jìn)一步加以分析證明即可;②利用三角形外角性質(zhì)可知∠DCE=∠DBC+∠D,然后再利用角平分線性質(zhì)得出2∠DBC=∠ABC,2∠DCE=∠ACE,最后再結(jié)合∠A+∠ABC=∠ACE進(jìn)一步證明即可.
(1)∵BD,CD分別是∠ABC,∠ACB的平分線,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°∠A,
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
∴∠D=180°(∠DBC+∠DCB)
=180°(∠ABC+∠ACB)
=180°(180°∠A)
=180°90°+∠A
=90°+∠A,
即:∠D=90°+∠A;
(2)①∠A=180°2∠D,理由如下:
∵BD,CD分別是∠EBC和∠FCB的平分線,
∴∠EBC=2∠DBC,∠FCB=2∠DCB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC=180°(∠A+∠ACB)=180°2∠DBC,
∠ACB=180°(∠A+∠ABC)=180°2∠DCB,
∴∠A+180°2∠DBC+180°2∠DCB=180°,
∴∠A2(∠DBC+∠DCB)=180°,
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
∴∠DBC+∠DCB=180°∠D,
∴∠A2(∠DBC+∠DCB)=∠A2(180°∠D)=180°,
即:∠A360°+2∠D=180°,
∴2∠D=180°∠A,
即:∠A=180°2∠D;
②∠A=2∠D,理由如下:
∵∠DCE是△ABC的一個(gè)外角,
∴∠DCE=∠DBC+∠D,
∵BD,CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線,
∴2∠DBC=∠ABC,2∠DCE=∠ACE,
∵∠A+∠ABC=∠ACE,
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE,
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D,
∴∠A=2∠D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABE中,∠BAE=105°,AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C,且AB=CE,則∠B的度數(shù)是( )
A. 45°B. 60°C. 50°D. 55°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,直線PQ⊥直線MN,垂足為O,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜邊AB與直線PQ交于點(diǎn)C.
(1)若∠A=∠AOC=30°,則BC_______BO(填“>”“=”“<”);
(2)如圖2,延長(zhǎng)AB交直線MN于點(diǎn)E,過(guò)O作OD⊥AB,若∠DOB=∠EOB,∠AEO=α,求∠AOE的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示);
(3)如圖3,OF平分∠AOM,∠BCO的平分線交FO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,∠A=36°,當(dāng)△AOB繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(斜邊AB與直線PQ始終相交于點(diǎn)C),問(wèn)∠R的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求其度數(shù);若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三角形中,,將角形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到三角形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中:
旋轉(zhuǎn)中心是什么?為多少度?
與線段相等的線段是什么?
三角形的面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線BC于點(diǎn)M,切點(diǎn)為N,則DM的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(8分)某園林部門(mén)決定利用現(xiàn)有的349盆甲種花卉和295盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個(gè),擺放在迎賓大道兩側(cè).已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉8盆,乙種花卉4盆;搭配一個(gè)B種造型需甲種花卉5盆,乙種花卉9盆.
(l)某校2015屆九年級(jí)某班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì),問(wèn)符合題意的搭配方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái);
(2)若搭配一個(gè)A種造型的成本是200元,搭配一個(gè)B種造型的成本是360元,試說(shuō)明(1)中哪種方案成本最低,最低成本是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣2,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,3),求點(diǎn)B的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,點(diǎn)E、F分別在邊CD、AB上.
(1)若DE=BF,求證:四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)若四邊形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)D并交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,且AB=2,AD=1,P點(diǎn)在切線CD上移動(dòng).當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí),則∠ABP的度數(shù)為( )
A.15° B.30° C.60° D.90°
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