【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點,過點D作⊙O的切線BC于點M,切點為N,則DM的長為( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
連接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,得到∠A=∠B=90°,CD=AB=4,由于AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,推出四邊形AFOE,F(xiàn)BGO是正方形,得到AF=BF=AE=BG=2,由勾股定理列方程即可求出結果.
連接OE,OF,ON,OG,
在矩形ABCD中,
∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,
∵AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點,
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,
∴四邊形AFOE,F(xiàn)BGO是正方形,
∴AF=BF=AE=BG=2,
∴DE=3,
∵DM是⊙O的切線,
∴DN=DE=3,MN=MG,
∴CM=5-2-MN=3-MN,
在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,
∴(3+NM)2=(3-NM)2+42,
∴NM=,
∴DM=3+=.
故選A.
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【題目】下面是小明設計的“分別以兩條已知線段為腰和底邊上的高作等腰三角形”的尺規(guī)作圖過程.
已知:線段 a, b.
求作:等腰△ABC,使線段 a 為腰,線段 b 為底邊 BC 上的高. 作法:如圖,
①畫直線 l,作直線 m⊥l,垂足為 P;
②以點 P 為圓心,線段 b 的長為半徑畫弧,交直線 m 于點 A;
③以點 A 為圓心,線段 a 的長為半徑畫弧,交直線 l 于 B,C 兩點;
④分別連接 AB, AC;
所以△ABC 就是所求作的等腰三角形. 根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵ = ,
∴△ABC 為等腰三角形( )(填推理的依據(jù)).
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【題目】已知拋物線(m>0)與x軸交于A、B兩點.
(1)求證:拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè);
(2)若(O為坐標原點),求拋物線的解析式;
(3)設拋物線與y軸交于點C,若△ABC是直角三角形.求△ABC的面積.
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【題目】如圖,已知⊙O的半徑為5,銳角△ABC內(nèi)接于⊙O,BD⊥AC于點D,AB=8,則sin∠CBD的值等于( )
A. 0.6 B. 0.8 C. D. 0.75
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【題目】如圖,數(shù)學興趣小組的小穎想測量教學樓前的一棵樹的樹高,下午課外活動時她測得一根長為1m的竹竿的影長是0.8m,但當她馬上測量樹高時,發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教學樓的墻壁上(如圖),他先測得留在墻壁上的影高為1.2m,又測得地面的影長為2.6m,請你幫她算一下,樹高是( )
A、3.25m B、4.25m C、4.45m D、4.75m
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【題目】(1) 如圖1所示,BD,CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC,∠ACB的平分線,試說明:∠D=90°+∠A.
(2)探究,請直接寫出下列兩種情況的結果,并任選一種情況說明理由:
①如圖2所示,BD,CD分別是△ABC兩個外角∠EBC和∠FCB的平分線,試探究∠A與∠D之間的等量關系;
②如圖3所示,BD,CD分別是△ABC一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線,試探究∠A與∠D之間的等量關系.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B,與y軸交于點C,且OA=1,OB=3,頂點為D,對稱軸交x軸于點Q.
(1)求拋物線對應的二次函數(shù)的表達式;
(2)點P是拋物線的對稱軸上一點,以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,且與直線CD相切,求點P的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出點M的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】為了更好的治理西流湖水質(zhì),保護環(huán)境,市治污公司決定購買 10 臺污水處理設備.現(xiàn)有 A、B 兩種型號的設備,其中每臺的價格,月處理污水量如下表:
A 型 | B 型 | |
價格(萬元/臺) | a | b |
處理污水量(噸/月) | 240 | 200 |
經(jīng)調(diào)查:購買一臺 A 型設備比購買一臺 B 型設備多 2 萬元,購買 2 臺 A 型設備比購買 3 臺 B 型設備少 6 萬元.
(1)求 a,b 的值;
(2)經(jīng)預算:市治污公司購買污水處理設備的資金不超過 105 萬元,你認為該公司 有哪幾種購買方案;
(3)在(2)問的條件下,若每月要求處理西流湖的污水量不低于 2040 噸,為了節(jié) 約資金,請你為治污公司設計一種最省錢的購買方案.
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【題目】學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊的其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
(初步思考)
我們不妨將問題用符號語言表示為:在△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,對∠B進行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
(深入探究)
第一種情況:當∠B是直角時,△ABC≌△DEF.
(1)如圖①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據(jù)______,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況:當∠B是鈍角時,△ABC≌△DEF.
(2)如圖②,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是鈍角.求證:△ABC≌△DEF.
第三種情況:當∠B是銳角時,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角.請你用直尺在圖③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等,并作簡要說明.
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