Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=3，OB=2OA，C為直線y=2x與直線AB的交點，點D在線段OC上，OD=．

（1）求點C的坐標(biāo)；

（2）若P為線段AD上一動點（不與A、D重合）．P的橫坐標(biāo)為x，△POD的面積為S，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若F為直線AB上一動點，E為x軸上一點，是否存在以O、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C坐標(biāo)為（，3）；（2）S =x-；（3）存在，點F的坐標(biāo)為（2，2）或（4，-2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意求出A、B的坐標(biāo)再求直線AB解析式，把直線AB與直線OC的方程聯(lián)立方程組，求得的解即為點C坐標(biāo)．

（2）由OD=及點D在直線y=2x上求得點D坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線AD解析式，得到點P縱坐標(biāo)的表示，用x表示△AOP的面積．利用S等于△AOD與△AOP面積差即求得S與x的函數(shù)關(guān)系式．

（3）由于OD是固定的，所以以OD為平行四邊形的邊或?qū)�角線作為分類討論的依據(jù)．畫圖即得到點F的縱坐標(biāo)與點D縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，把縱坐標(biāo)代入直線AB解析式即求得F的橫坐標(biāo)．

解：（1）∵OA=3，點A和點B分別在x軸和y軸的正半軸上

∴A（3，0），OB=3OA=6

∴B（0，6）

設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b

∴解得：

∴直線AB解析式為：y=-2x+6

∵解得：

∴點C坐標(biāo)為（，3）

（2）過點D作DG⊥x軸于點G，過點P作PH⊥x軸于點H

∵點D在線段OC上，直線OC解析式為y=2x

∴設(shè)點D（d，2d）（0＜d＜）

∴OD=

∴d=1

∴D（1，2），DG=2

設(shè)直線AD解析式為：y=ax+c

∴解得：

∴直線AD解析式為：y=-x+3

∵點P在線段AD上，且橫坐標(biāo)為x

∴OH=x，PH=yP=-x+3

∴S=S△AOD-S△AOP=OADG-OAPH=OA（DG-PH）=×3×（2+x-3）=x-

（3）存在以O、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

①當(dāng)OD為平行四邊形的邊時，如圖2，

∴|yF|=yD=2

∵|-2x+6|=2解得：x1=2，x2=4

∴F（2，2）或（4，-2）

②當(dāng)OD為平行四邊形的對角線時，如圖3，

∴DF∥x軸，yF=yD=2

∴F（2，2）

綜上所述，點F的坐標(biāo)為（2，2）或（4，-2）．