【題目】已知:△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形,其中AB=AC,AD=AE,
∠BAC=90°,∠DAE=90°.
(1)觀察猜想
如圖1,連接BE、CD交于點(diǎn)H,再連接CE,那么BE和CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是
(2)探究證明
將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,分別取BC、CE、DE的中點(diǎn)P、M、Q,連接MP、PQ、MQ,請判斷MP和MQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展延伸
已知AB=,AD=4,在(2)的條件下,將△ABC繞點(diǎn)A旅轉(zhuǎn)的過程中,若∠CAE=45°,請直接寫出此時線段PQ的長.
【答案】(1)BE=CD,BE⊥CD;(2)MP=MQ,MP⊥MQ,理由見解析;(3)或.
【解析】
(1)由三角形中位線定理得出 ,可得出∠MHE=∠CAE,∠CGM=∠CAE,證明三角形全等,得到BM=DM,證明,即可得到結(jié)論。
(2)證出BM=DN,,再證明,即可得出結(jié)論
(3)分兩種情況:根據(jù)兩種情況的角度不同可以分類計(jì)算
(1)BE=CD,BE⊥CD,提示:證明△ABE≌△ACD;
(2)MP=MQ,MP⊥MQ,
提示:MP是△BCE的中位線,MQ是△ECD的中位線,
可證:△ACD≌△ABE,
得到BE=CD,BE⊥CD,進(jìn)而得到結(jié)論.
(3)或.
提示:
如圖,延長BA交DE于H,此時∠EAH=45°,即AH⊥DE,
∴EH=AH==,BH=,由勾股定理得:BE=,
∴
如圖,設(shè)BC交AE于點(diǎn)H,則BC⊥AE,
AH=BH=1,EH=3,BE=,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平直角坐標(biāo)系中,規(guī)定:拋物線的相關(guān)直線為.例如:二次函數(shù)的相關(guān)直線為.
(1)直接寫出拋物線的相關(guān)直線,并求出拋物線與其相關(guān)直線的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖,拋物線與它的相關(guān)直線交于、兩點(diǎn).
①求拋物線的解析式;
②連結(jié),求的面積;
③作,過拋物線上一動點(diǎn)(不與、重合)作直線的平行線交于點(diǎn),若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F,設(shè)PA=x.
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似,試求x的值;
(3)試求當(dāng)x取何值時,以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】期末考試后,某市第一中學(xué)為了解本校九年級學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科成績情況,決定對該年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科期末考試成績進(jìn)行抽樣分析,已知九年級共有12個班,每班48名學(xué)生,請按要求回答下列問題:
(收集數(shù)據(jù))
(1)若要從全年級學(xué)生中抽取一個48人的樣本,你認(rèn)為以下抽樣方法中比較合理的有 ;(只要填寫序號即可)
①隨機(jī)抽取一個班級的48名學(xué)生;②在全年級學(xué)生中隨機(jī)抽取48名學(xué)生;③在全年級12個班中分別各抽取4名學(xué)生;④從全年級學(xué)生中隨機(jī)抽取48名男生;
(整理數(shù)據(jù))
(2)將抽取的48名學(xué)生的成績進(jìn)行分組,繪制頻數(shù)分布表和成績分布扇形統(tǒng)計(jì)圖(不完整)如下.請根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)填空:
①C類和D類部分的圓心角度數(shù)分別為 、
②估計(jì)全年級A、B類學(xué)生大約一共有 名;
成績(分) | 頻數(shù) | 頻率 |
A類(80~100) | 0.5 | |
B類(60~79) | 0.25 | |
C類(40~59) | 8 | |
D類(0~39) | 4 |
(3)學(xué)校為了解其他學(xué)校教學(xué)情況,將同層次的第一、第二兩所中學(xué)的抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,得下表:
學(xué)校 | 平均分(分) | 極差(分) | 方差 | A、B類的頻率和 |
第一中學(xué) | 71 | 52 | 432 | 0.75 |
第二中學(xué) | 71 | 80 | 497 | 0.82 |
你認(rèn)為哪所學(xué)校的教學(xué)效果較好?結(jié)合數(shù)據(jù),請給出一個解釋來支持你的觀點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題)
如圖1,在中,,過點(diǎn)作直線平行于.,點(diǎn)在直線上移動,角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn),另一邊與交于點(diǎn),研究和的數(shù)量關(guān)系.
(探究發(fā)現(xiàn))
(1)如圖2,某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時,通過推理就可以得到,請寫出證明過程;
(數(shù)學(xué)思考)
(2)如圖3,若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),受(1)的啟發(fā),這個小組過點(diǎn)作交于點(diǎn),就可以證明,請完成證明過程;
(拓展引申)
(3)如圖4,在(1)的條件下,是邊上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),是射線上一點(diǎn),且,連接與交于點(diǎn),這個數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在某一位置時的值最大.若,請你直接寫出的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,點(diǎn)為內(nèi)一動點(diǎn).過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn).若為等腰三角形,且,則的長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD的四個頂點(diǎn)都在雙曲線y=(k>0)上,BC=2AB,且矩形ABCD的面積是32,則k的值是( )
A.6B.8C.10D.12
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