Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線(xiàn)AD上，過(guò)P作PF⊥AE于F，設(shè)PA＝x．

(1)求證：△PFA∽△ABE；

(2)若以P，F，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似，試求x的值；

(3)試求當(dāng)x取何值時(shí)，以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線(xiàn)段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)滿(mǎn)足條件的x的值為2或5；(3)當(dāng)x=4-或x=4+或8＜x≤4+2時(shí)，⊙D與線(xiàn)段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和PF⊥AE易證三角形相似.

（2）由于對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，所以應(yīng)針對(duì)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系分情況考慮：當(dāng)∠PEF=∠EAB時(shí)，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；當(dāng)∠PEF=∠AEB時(shí)，再結(jié)合△PFA∽△ABE，得到等腰△APE．再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一得到F是AE的中點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

（3）此題首先應(yīng)針對(duì)點(diǎn)P的位置分為兩種大情況：點(diǎn)P在AD邊上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)．同時(shí)還要特別注意⊙D與線(xiàn)段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)，不一定必須相切，只要保證和線(xiàn)段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)即可．故求得相切時(shí)的情況和相交，但其中一個(gè)交點(diǎn)在線(xiàn)段AE外的情況即是x的取值范圍．

(1)證明：∵正方形ABCD，

∴AD∥BC．

∴∠ABE＝90°．

∴∠PAF＝∠AEB．

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA＝∠ABE＝90°．

∴△PFA∽△ABE．

(2)解：情況1，當(dāng)△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB時(shí)，

則有PE∥AB

∴四邊形ABEP為矩形．

∴PA＝EB＝2，即x＝2．

情況2，當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB時(shí)，

∵∠PAF＝∠AEB，

∴∠PEF＝∠PAF．

∴PE＝PA．

∵PF⊥AE，

∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)．

∵===，

∴EF=AE=．

∵=，即=，

∴PE＝5，即x＝5．

∴滿(mǎn)足條件的x的值為2或5．

(3)解：如圖，

作DH⊥AE，則⊙D與線(xiàn)段AE的距離d即為DH的長(zhǎng)，可得d＝

當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，⊙D的半徑r＝DP＝4﹣x；

當(dāng)點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，⊙D的半徑r＝DP＝x﹣4；

如圖1時(shí)，⊙D與線(xiàn)段AE相切，此時(shí)d＝r，即=4-x，∴x=4-；

如圖2時(shí)，⊙D與線(xiàn)段AE相切，此時(shí)d＝r，即=x-4，∴x=4+；

如圖3時(shí)，DA=PD，則PA=x=2DA=8

如圖4時(shí)，當(dāng)PD＝ED時(shí)，

∵DE＝＝2，

∴PA＝PD+AD＝4+2，

∴當(dāng)x=4-或x=4+或8＜x≤4+2時(shí)，⊙D與線(xiàn)段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)．