【題目】如圖,在矩形中,,,點在線段上,由點向點運動,當(dāng)點與點重合時,停止運動.以點為圓心,為半徑作,與交于點,點在上且在矩形外,.
(1)當(dāng)時,__________,扇形的面積=__________,點到的最短距離=__________.
(2)與相切時,求的長?
(3)如圖與交于點、,當(dāng)時,求的長?
(4)請從下面兩問中,任選一道進行作答.
①當(dāng)與有兩個公共點時,直接寫出的取值范圍.
②直接寫出點的運動路徑長以及的最短距離.
【答案】(1),,;(2);(3)4;(4)①,或;②,
【解析】
(1)根據(jù)已知直接可求;
(2)⊙P與AC相切時,設(shè)切點為點H,連接PH,則PH⊥AC,在Rt△ADC中,AB=6,BC=8,得AC=10;在Rt△ADC中,sin∠DAC=,設(shè)⊙P半徑為x,則PH=PD=x,AP=8-x,在Rt△AHP中,sin∠PAH==,可求x=3,在Rt△PDC中,CD=6,PD=3,求得PC= ;
(3)過點P作PH⊥AC,連接PF;則∠PHA=∠ADC=90°,可證△AHP∽△ADC,設(shè)⊙P半徑為x,則PF=PD=x,AP=8-x,則PH=(8-x),在⊙P中,FH⊥AC,EF=6.4,HF=3.2,在Rt△PHF中,((8x))2+3.22=x2,求得PD=4;
(4)①作PM⊥AC于M,作PN⊥BC于N,易知PM=PD時,⊙P與AC相切,與△ABC只有一個公共點,PM<PD時⊙P與△ABC沒有公共點;當(dāng)PN=PD時,⊙P與BC相切,⊙P與△ABC有三個公共點,當(dāng)PB=PD時,⊙P與△ABC有三個公共點;當(dāng)PB<PD≤AD時,⊙P與△ABC有且只有兩個公共點;故3<PD<6或<PD≤8;②由∠QPD=120°,PQ=PD可得:∠ADQ=30°,即Q的路徑是一條線段,且線段DQ位于AD上方,易求得DQ=8,BQ的最短距離即點B到DQ的垂線段長度,可求得span>DQ的最小值=3+4;
解:(1)如圖1,連接PC,QP,PC交⊙P于T,
∵矩形ABCD
∴∠ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,
在Rt△CDP中,由勾股定理得:PC===4 ,
∵∠QPD=120°,PD=2
∴S扇形QPD==4π
CT=CP-PT=4-2=2
故答案為:4,4π,2;
(2)與相切時,設(shè)切點為點,
連接,則,
四邊形為矩形
在中,,,
在中,
設(shè)半徑為,則,,
在中,,,
在中,,,
(3)過點作,垂足為點,連接,
則
又
設(shè)半徑為,則,,
在中,,
在中,根據(jù)勾股定理得:
解得:(舍去),
的長為4.
(4)①,或
②,
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【題目】如圖,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)
(1)求點B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
(測角器的高度忽略不計,結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):1.414,1.732)
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【題目】小明、小亮和小強三人準(zhǔn)備下象棋,他們約定用“拋硬幣”的游戲方式來確定哪個人先下棋,規(guī)則如下:三人手中各持有一枚質(zhì)地均勻的硬幣,他們同時將手中硬幣拋落到水平地面為一個回合,落地后,三枚硬幣中,恰有兩枚正面向上或者反面向上的兩人先下棋;若三枚硬幣均為正面向上或反面向上,則不能確定其中兩人先下棋.
(1)請你完成下面表示游戲一個回合所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的樹狀圖;
(2)求出一個回合能確定兩人下棋的概率.
解:(1)樹狀圖為:
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【題目】某中學(xué)開展以“我最喜歡的職業(yè)”為主題的調(diào)查活動,通過對學(xué)生的隨機抽樣調(diào)查得到一組數(shù)據(jù),如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制成的不完整統(tǒng)計圖.
(1)把折線統(tǒng)計圖補充完整;
(2)求出扇形統(tǒng)計圖中,公務(wù)員部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)若從被調(diào)查的學(xué)生中任意抽取一名,求取出的這名學(xué)生最喜歡的職業(yè)是“教師”的概率.
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【題目】如圖,是的邊的垂直平分線,垂足為點,與的延長線交于點,連接,,,與交于點,則下列結(jié)論:
①四邊形是菱形;
②;
③;
④四邊形
以上四個結(jié)論中所有正確的結(jié)論是( )
A.①②B.①②③C.②④D.①②④
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【題目】學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上,甲從學(xué)校去圖書館,乙從圖書館回學(xué)校,甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā),乙先到達目的地.兩人之間的距離(米)與時間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)根據(jù)圖象信息, 分鐘時甲乙兩人相遇,甲的速度為 米/分鐘;
(2)求出線段所表示的函數(shù)表達式;
(3)當(dāng)甲,乙相距1000米時,直接寫出的值.
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【題目】某中學(xué)開展“綠化家鄉(xiāng)、植樹造林”活動,為了解全校植樹情況,對該校甲、乙、丙、
丁四個班級植樹情況進行了調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成圖1和圖2兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息,完成下列問題:
(1)這四個班共植樹 棵;
(2)請你在答題卡上補全兩幅統(tǒng)計圖;
(3)求圖1中“甲”班級所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(4)若四個班級植樹的平均成活率是95%,全校共植樹2000棵,請你估計全校種植的樹中成活的樹有多少棵?
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【題目】問題探究
(1)如圖①,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,則線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖②,在△ADC中,AD=2,CD=4,∠ADC是一個不固定的角,以AC為邊向△ADC的另一側(cè)作等邊△ABC,連接BD,則BD的長是否存在最大值?若存在,請求出其最大值;若不存在,請說明理由;
問題解決
(3)如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4,若BD⊥CD,垂足為點D,則對角線AC的長是否存在最大值?若存在,請求出其最大值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在中,,是的外接圓,連結(jié)OA、OB、OC,延長BO與AC交于點D,與交于點F,延長BA到點G,使得,連接FG.
備用圖
(1)求證:FG是的切線;
(2)若的半徑為4.
①當(dāng),求AD的長度;
②當(dāng)是直角三角形時,求的面積.
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