【題目】問(wèn)題探究

(1)如圖①,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,則線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為   ;

(2)如圖②,在△ADC中,AD=2,CD=4,ADC是一個(gè)不固定的角,以AC為邊向△ADC的另一側(cè)作等邊△ABC,連接BD,則BD的長(zhǎng)是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出其最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

問(wèn)題解決

(3)如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,BAD=60°,BC=4,若BDCD,垂足為點(diǎn)D,則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出其最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)BE+DF=EF;(2)存在,BD的最大值為6;(3)存在,AC的最大值為2+2

【解析】

(1)作輔助線,首先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AEG,進(jìn)而得到EF=FG問(wèn)題即可解決;

(2)將△ABD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BCE,連接DE,由旋轉(zhuǎn)可得,CE=AD=2,BD=BE,DBE=60°,可得DE=BD,根據(jù)DE<DC+CE,則當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí),DE存在最大值,問(wèn)題即可解決;

3)以BC為邊作等邊三角形BCE,過(guò)點(diǎn)EEFBC于點(diǎn)F,連接DE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△DBE是等邊三角形,則DE=AC,根據(jù)在等邊三角形BCE中,EFBC,可求出BF,EF,BC為直徑作⊙F,則點(diǎn)D在⊙F上,連接DF,可求出DF,則AC=DE≤DF+EF,代入數(shù)值即可解決問(wèn)題.

(1)如圖①,延長(zhǎng)CDG,使得DG=BE,

∵正方形ABCD中,AB=AD,B=AFG=90°,

∴△ABE≌△ADG,

AE=AG,BAE=DAG,

∵∠EAF=45°,BAD=90°,

∴∠BAE+DAF=45°,

∴∠DAG+DAF=45°,即∠GAF=EAF,

又∵AF=AF,

∴△AEF≌△AEG,

EF=GF=DG+DF=BE+DF,

故答案為:BE+DF=EF;

(2)存在.

在等邊三角形ABC中,AB=BC,ABC=60°,

如圖②,將△ABD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BCE,連接DE.

由旋轉(zhuǎn)可得,CE=AD=2,BD=BE,DBE=60°,

∴△DBE是等邊三角形,

DE=BD,

∴在△DCE中,DE<DC+CE=4+2=6,

∴當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí),DE存在最大值,且最大值為6,

BD的最大值為6;

(3)存在.

如圖③,以BC為邊作等邊三角形BCE,過(guò)點(diǎn)EEFBC于點(diǎn)F,連接DE,

AB=BD,ABC=DBE,BC=BE,

∴△ABC≌△DBE,

DE=AC,

∵在等邊三角形BCE中,EFBC,

BF=BC=2

EF=BF=×2=2,

BC為直徑作⊙F,則點(diǎn)D在⊙F上,連接DF,

DF=BC=×4=2

AC=DE≤DF+EF=2+2,即AC的最大值為2+2

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