Question

【題目】如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=6．點(diǎn)E，F分別在AB，DC上（E不與A，D重合，F不與B，C重合），現(xiàn)以EF為折痕，將矩形紙片ABCD折疊．

（1）當(dāng)A點(diǎn)落在BC上時(shí)（如圖②），求證：△EFA′是等腰三角形；

（2）當(dāng)A′點(diǎn)與C重合時(shí)，試求△EFA’的面積；

（3）當(dāng)A′點(diǎn)與DC的中點(diǎn)重合時(shí)，試求折痕EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△EFA'的面積；（3）EF=．

【解析】

（1）先判斷出AD∥BC，進(jìn)而得出∠AEF=∠EFA'=∠FEA'，即可得出結(jié)論；

（2）先準(zhǔn)確畫圖，設(shè)BF=a，則FC=6-a，根據(jù)勾股定理計(jì)算x的值，表示BF=，FC=6-=，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；

（3）作輔助線，先利用勾股定理計(jì)算AA'的長，證明△ADA'∽△FME，列比例式可得EF的長．

（1）如圖②，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEF=∠EFA'，

由折疊性質(zhì)可得，∠AEF=∠FEA’，

∴∠FEA'=∠EFA'，

∴A'E=A'F，

∴△EFA′是等腰三角形；

（2）如下圖，設(shè)BF=a，則FC=6-a，

∵CB'=AB=4，

在Rt△FCB'中，由勾股定理得：x2+42=（6-x）2，

x=，

∴BF=，FC=6-=，

過E作EG⊥BC于G，則EG=AB=4，

∴△EFA'的面積===；

（3）過點(diǎn)F作FM⊥AD，連接AA'，

∵AD=6，A'D=CD=2，

∴AA'===2，

由折疊得：∠AEF=∠A'EF，AE=A'E，

∴∠EAA'=∠EA'A，

∴∠ANE=∠A'NE=90°=∠AMF，

∴∠DAA'=∠MFE，

∵∠FME=∠ADA'=90°，

∴△ADA'∽△FME，

∴，

∴，EF=．