【題目】已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1,且m≠0.
(1)求拋物線的頂點坐標;
(2)試說明拋物線與直線有兩個交點;
(3)已知點T(t,0),且-1≤t≤1,過點T作x軸的垂線,與拋物線交于點P,與直線交于點Q,當0<m≤3時,求線段PQ長的最大值.
【答案】(1)(-1,-1);(2)見解析;(3)PQ的最大值為6.
【解析】
(1)化為頂點式即可求頂點坐標;
(2)由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得:mx2+2mx+m-1=mx+m-1,整理得,mx(x+1)=0,即可知拋物線與直線有兩個交點;
(3)由(2)可得:拋物線與直線交于(-1,-1)和(0,m-1)兩點,點P的坐標為(t,mt2+2mt+m-1),點Q的坐標為(t,mt+m-1). 故分兩種情況進行討論:①如圖1,當-1≤t≤0時;②如圖2,當0<t≤1時,求出對應的最大值即可.
解:(1)∵y=mx2+2mx+m-1=m(x+1)2-1,
∴拋物線的頂點坐標為(-1,-1).
(2)由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得:mx2+2mx+m-1=mx+m-1,
mx2+mx=0,mx(x+1)=0,
∵m≠0,
∴x1=0,x2=-1.
∴拋物線與直線有兩個交點.
(3)由(2)可得:拋物線與直線交于(-1,-1)和(0,m-1)兩點,
點P的坐標為(t,mt2+2mt+m-1),點Q的坐標為(t,mt+m-1).
①如圖1,當-1≤t≤0時,PQ==.
∵m>0,
當時,PQ有最大值,且最大值為.
∵0<m≤3,∴≤,即PQ的最大值為.
②如圖2,當0<t≤1時,PQ==.
∵m>0,
∴當t=1時,PQ有最大值,且最大值為2m.
∵0<m≤3,
∴0<2m≤6,即PQ的最大值為6.
綜上所述,PQ的最大值為6.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是小蕓設計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:⊙O 及⊙O 外一點 P.
求作:⊙O 的一條切線,使這條切線經(jīng)過點 P.
作法:①連接 OP,作 OP 的垂直平分線 l,交 OP 于點 A;
②以 A 為圓心,AO 為半徑作圓,交⊙O 于點 M;
③作直線 PM,則直線 PM 即為⊙O 的切線.
根據(jù)小蕓設計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:連接 OM,
由作圖可知,A 為 OP 中點,
∴OP 為⊙A 直徑,
∴∠ =90°( )(填推理的依據(jù))
即 OM⊥PM.
又∵點 M 在⊙O 上,
∴PM 是⊙O 的切線.( )(填推理的依據(jù))
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點在上,點是上一動點,且與點分別位于直徑的兩側,,過點作交的延長線于點;
(1)當點運動到什么位置時,恰好是的切線?畫出圖形并加以說明.
(2)若點與點關于直徑對稱,且,畫出圖形求此時的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐
問題情境
在綜合與實踐課上,同學們以“三角形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.
操作發(fā)現(xiàn)
“楊輝”小組的同學用一張鈍角三角形紙片,為鈍角,進行了如下操作:
第一步:如圖1,折出的角平分線;
第二步:如圖2,展平紙片,再次折疊該三角形紙片,使預點與點重合,拆痕分別與,交于點,;
第三步:如圖3,再次展平紙片,連接,,可得四邊形.
(1)在圖4的中利用尺規(guī)作出折痕,;
(要求:保留作圖痕跡,不寫作法)
實踐探究
(2)試判斷圖3中四邊形的形狀,并寫出證明過程;
深入探究
(3)“陳景潤”小組的同學突發(fā)奇想,在“楊輝”小組同學操作的基礎上設計了這樣一個問題:在圖3中,連接,分別交于點,交于點,若,,利用相似三角形的知識可以求出的長.請你寫出求解過程.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF,設正方形的中心為O,連接AO,如果AB=4,AO=6,那么AC=_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,以的邊上一點為圓心的圓,經(jīng)過、兩點,且與邊交于點,為的下半圓弧的中點,連接交于,若.
(1)求證:是的切線;
(2)若,,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm.點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動,同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動,它們的速度均為1cm/s.連接DE,設運動時間為t(s)(0<t<10),解答下列問題:
(1)當t為何值時,△BDE的面積為7.5cm2;
(2)在點D,E的運動中,是否存在時間t,使得△BDE與△ABC相似?若存在,請求出對應的時間t;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義一種對正整數(shù)n的“F”運算:①當n為奇數(shù)時,F(n)=3n+1;②當n為偶數(shù)時,F(n)=(其中k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù))……,兩種運算交替重復進行,例如,取n=24,則:
若n=24,則第2019次“F”運算的結果是( )
A.4B.1C.2018D.42018
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,cos∠ABC=,sin∠ACB=,AC=2,分別以AB,AC為邊向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE,連接EF,點M是EF的中點,連接AM,則△AEF的面積為_____,AM的長為_____.
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