Question

【題目】如圖①，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點(diǎn)D是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OD>1，且OD≠2），連接BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點(diǎn)N.如果定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形.

(1)、試找出圖1中的一個(gè)損矩形 ；

(2)、試說明（1）中找出的損矩形一定有外接圓；

(3)、隨著點(diǎn)D的位置變化，點(diǎn)N的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.

(4)、在圖②中，過點(diǎn)M作MG⊥y軸，垂足是點(diǎn)G，連結(jié)DN，若四邊形DMGN為損矩形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)、四邊形ADMB；(2)、證明過程見解析；(3)、N(0，－1)；(4)、D(3,0).

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)題意得出損矩形；(2)、取BD中點(diǎn)H，連接MH，AH，根據(jù)四邊形OABC和四邊形BDEF為正方形得出△ABD和△BDM為直角三角形，從而得出HA=HB=HM=HD=BD，說明損矩形ABMD一定有外接圓；(3)、根據(jù)外接圓的性質(zhì)得出∠MAD=∠MBD，根據(jù)四邊形BDEF是正方形得出OA和ON的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；(4)、延長(zhǎng)AB交MG于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)MG=x，根據(jù)△MBP和△MDQ全等得出關(guān)于x的一元二次方程，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

試題解析：(1)、四邊形ADMB就是一個(gè)損矩形．

(2)、取BD中點(diǎn)H，連接MH，AH． ∵四邊形OABC，BDEF是正方形， ∴△ABD，△BDM都是直角三角形，

∴HA=BD，HM=BD ∴HA=HB=HM=HD=BD ∴損矩形ABMD一定有外接圓．

(3)、∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H ∴∠MAD=∠MBD ∵四邊形BDEF是正方形

∴MBD=45° ∴MAD=45° ∴OAN=45° ∵OA=1 ∴ON=1 ∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

(4)、延長(zhǎng)AB交MG于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q 設(shè)點(diǎn)MG=x，則四邊形APMQ為正方形

∴PM=AQ=x﹣1 ∴OG=MQ=x﹣1 ∵△MBP≌△MDQ ∴DQ=BP=CG=x﹣2 ∴MN2=2x2

ND2=（2x﹣2）2+12 MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2

∵四邊形DMGN為損矩形 ∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2 ∴2x2﹣7x+5=0

∴x=2.5或x=1（舍去） ∴OD=3 ∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．