【題目】如圖,在ABCD中,AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,交CD于點E、F,AE、BF相交于點M.
(1)試說明:AE⊥BF;
(2)判斷線段DF與CE的大小關(guān)系,并予以說明.

【答案】
(1)解:方法一:如圖①,

∵在ABCD中,AD∥BC,

∴∠DAB+∠ABC=180°.

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,

∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF.

∴2∠BAE+2∠ABF=180°.

即∠BAE+∠ABF=90°.

∴∠AMB=90°.

∴AE⊥BF.

方法二:如圖②,延長BC、AE相交于點P,

∵在ABCD中,AD∥BC,

∴∠DAP=∠APB.

∵AE平分∠DAB,

∴∠DAP=∠PAB.

∴∠APB=∠PAB.

∴AB=BP.

∵BF平分∠ABP,

∴AP⊥BF,

即AE⊥BF


(2)解:方法一:線段DF與CE是相等關(guān)系,即DF=CE,

∵在ABCD中,CD∥AB,

∴∠DEA=∠EAB.

又∵AE平分∠DAB,

∴∠DAE=∠EAB.

∴∠DEA=∠DAE.

∴DE=AD.

同理可得,CF=BC.

又∵在ABCD中,AD=BC,

∴DE=CF.

∴DE﹣EF=CF﹣EF.

即DF=CE.

方法二:如圖,延長BC、AE設(shè)交于點P,延長AD、BF相交于點O,

∵在ABCD中,AD∥BC,

∴∠DAP=∠APB.

∵AE平分∠DAB,

∴∠DAP=∠PAB.

∴∠APB=∠PAB.

∴BP=AB.

同理可得,AO=AB.

∴AO=BP.

∵在ABCD中,AD=BC,

∴OD=PC.

又∵在ABCD中,DC∥AB,

∴△ODF∽△OAB,△PCE∽△PBA.

= , =

∴DF=CE.


【解析】(1)因為AE,BF分別是∠DAB,∠ABC的角平分線,那么就有∠MAB= ∠DAB,∠MBA= ∠ABC,而∠DAB與∠ABC是同旁內(nèi)角互補,所以,能得到∠MAB+∠MBA=90°,即得證.(2)兩條線段相等.利用平行四邊形的對邊平行,以及角平分線的性質(zhì),可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形,那么就有CF=BC=AD=DE,再利用等量減等量差相等,可證.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解角平分線的性質(zhì)定理(定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上),還要掌握平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
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(1)求圖中線段所表示的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)動點在邊運動的過程中,若以、、為頂點的三角形是等腰三角形,求的值;

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