【題目】如圖,已知正方形ABCD,將一塊等腰直角三角板的銳角頂點與A重合,并將三角板繞A點旋轉(zhuǎn),如圖1,使它的斜邊與BD交于點H,一條直角邊與CD交于點G.
(1)請適當(dāng)添加輔助線,通過三角形相似,求出的值;
(2)連接GH,判斷GH與AF的位置關(guān)系,并證明;
(3)如圖2,將三角板旋轉(zhuǎn)至點F恰好在DC的延長線上時,若AD=,AF=.求DG的長.
【答案】(1);(2)GH⊥AF,理由見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)連接AC,利用等量代換,求出∠BAH=∠GAC,再加上45的角,即可求出△BAH∽△CAG,進而得出結(jié)論;(2)先回答位置關(guān)系GH⊥AF,再證明,利用(1)問的結(jié)論,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等得出△HAG∽△EAF,得出比例式即可;(3)判斷出△AGD∽△FGE,得出,設(shè)出未知數(shù),求出AG、EG的長度,利用相似即可求出DG的長度.
試題解析:
(1)連接AC
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BAC=∠ABH=∠ABH=45,
又∵△AEF是等腰直角三角形
∴∠EAH=45
∴∠BAH+∠EAC=∠FAC+∠EAC=45
∴∠BAH=∠GAC
∴△BAH∽△CAG.
∴
(2)GH⊥AF,理由如下:
∵在Rt△AEF中,
∴
又∵∠HAG=∠EAF
∴△HAG∽△EAF.
∴∠AHG=∠E=90
∴GH⊥AF..
(3)∵在Rt△AGH中,
∴AG=GH
又∵∠ADG=∠E=90,∠AGD=∠FGE
∴△AGD∽△FGE
∴.
又∵在Rt△AEF中,AF=
∴EF=5
∴
∴
∴
∴可設(shè)GH為,則
∴AF=AH+FH=
∴
∴AG=GH
∴
又∵
∴
∴DG=
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【題目】在下列命題中,正確的是( 。
A.弦是直徑
B.長度相等的兩條弧是等弧
C.三點確定一個圓
D.三角形的外心不一定在三角形的外部
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【題目】如圖,將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點O按如圖方式疊放在一起.
(1)若∠BOD=35°,則∠AOC= ;
(2)若∠AOC=135°,則∠BOD= ;
(3)猜想∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF為AB的垂直平分線,EF交BC于F,交AB于E,BF=5cm,求CF的長.
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【題目】有下列四個命題:
①經(jīng)過三個點一定可以作圓;
②等弧所對的圓周角相等;
③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等;
④在同圓中,平分弦的直徑一定垂直于這條弦.
其中正確的有()
A.0B.1C.2D.3
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【題目】已知x=3,求6x2+4x﹣2(x2﹣1)﹣2(2x+x2)的值,小民粗心把x=3抄成了x=﹣3,但計算的結(jié)果卻正確的.你知道其中的原因嗎?
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【題目】已知M(a,b)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點,其中a是從l,2,3,4三個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從l,2,3,4,5五個數(shù)中任取的一個數(shù).定義“點M(a,b)在直線x+y=n上”為事件Qn(2≤n≤9,n為整數(shù)),則當(dāng)Qn的概率最大時,n的所有可能的值為( )
A.5
B.4或5
C.5或6
D.6或7
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