Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，D在坐標(biāo)軸上，且已知點(diǎn)A（，），點(diǎn)B（，），現(xiàn)有拋物線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C和OD的中點(diǎn)．

（1）求拋物線m的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）拋物線m與x軸的另一交點(diǎn)為F，M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的點(diǎn)，使得，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出函數(shù)m的解析式，把B、E、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式進(jìn)行求解即可；

（2）點(diǎn)是拋物線和直線的交點(diǎn)，求出AC的解析式，聯(lián)立方程組，解出方程組進(jìn)行取舍即可得點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）過(guò)作軸于，過(guò)作于，證明△AOG∽△CNM，可得，從而可得結(jié)論.

（1）∵，

∴，

∴，即菱形的長(zhǎng)為5，

∴，

∴，

∴OD的中點(diǎn)坐標(biāo)為：

設(shè)拋物線的解析式為：，則

，解得

∴拋物線的解析式為．

（2）存在滿足條件的點(diǎn)，使得．理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，∵，，

∴點(diǎn)在菱形的對(duì)角線上，

∴點(diǎn)是拋物線和直線的交點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為，

∵，，，，

∴，解得，

∴直線的解析式為，

由解得或（舍去），

∴，．

（3）過(guò)作軸于，過(guò)作于，

∵軸，∴，

又∵，

∴△AOG∽△CNM，

∴，

∴，

∵點(diǎn)到最小距離為，

∴的最小值為的長(zhǎng)度4，

∴的最小值為．