【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=AC,∠BAD=90°,延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,交BF于點(diǎn)E.
(1)求證:DE=EF;
(2)若,求的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)連接BD,由AB=AC知∠ABC=∠ADB,證∠ABC=∠CDF得∠CDF=∠ADB.由∠BAD=90°知BD為⊙O的直徑,據(jù)此得∠F+∠CDF=90°,結(jié)合DE為⊙O的切線得∠ADB+∠EDF=90°,根據(jù)∠CDF=∠ADB得∠F=∠EDF,從而得證;
(2)由可設(shè)EC=3,則EF=5,CF=8,證△EDC~△EBD得,據(jù)此知,,BC=,連接OB,OC,AC,AO并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H,由AB=AC,OB=OC知AO垂直平分BC,從而得,再由AH⊥BC,DC⊥BC知DC∥AH,得.
解:(1)連接BD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ADB,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠CDF,
∴∠CDF=∠ADB.
∵∠BAD=90°,
∴BD為⊙O的直徑,
∴∠DCB=90°,
∴∠DCF=90°,
∴∠F+∠CDF=90°,
∵DE為⊙O的切線,
∴∠ODE=90°,
∴∠ADB+∠EDF=90°,
∵∠CDF=∠ADB,
∴∠F=∠EDF,
∴DE=EF;
(2)∵,
設(shè)EC=3,則EF=5,CF=3+5=8,
∵∠BDE=∠DCE=90°,∠DEC=∠DEB,
∴△EDC~△EBD,
∴,
∴,,,
∴,
連接OB,OC,AC,AO并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H,
又∵OB=OC,AB=AC,
∴AO垂直平分BC,
∴,
∵AH⊥BC,DC⊥BC,
∴DC∥AH,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在等腰△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=120°.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖②的位置,連接CD,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn),連接MN、PN、PM,判斷△PMN的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)在(2)中,把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=6,請(qǐng)分別求出△PMN周長(zhǎng)的最小值與最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年9月,我國(guó)中小學(xué)生迎來(lái)了新版“教育部統(tǒng)編義務(wù)教育語(yǔ)文教科書(shū)”,本次“統(tǒng)編本”教材最引人關(guān)注的變化之一是強(qiáng)調(diào)對(duì)傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作的閱讀,某校對(duì)A《三國(guó)演義》、B《紅樓夢(mèng)》、C《西游記》、D《水滸》四大名著開(kāi)展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了若干名學(xué)生(每名學(xué)生必選且只能選這四大名著中的一部)并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)本次一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)某班語(yǔ)文老師想從這四大名著中隨機(jī)選取兩部作為學(xué)生暑期必讀書(shū)籍,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求恰好選中《三國(guó)演義》和《紅樓夢(mèng)》的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人分別從各自家出發(fā)乘坐出租車(chē)前往智博會(huì),由于堵車(chē),兩人同時(shí)選擇就近下車(chē),已知甲車(chē)在乙車(chē)前面200米的A地下車(chē),然后分別以各自的速度勻速走向會(huì)場(chǎng),3分鐘后,乙發(fā)現(xiàn)有物品遺落在出租車(chē)上,于是立即以不變的速度返回尋找,找到出租車(chē)時(shí),出租車(chē)恰好向會(huì)場(chǎng)方向行駛了100米,乙拿到物品后立即以原速返回繼續(xù)走向會(huì)場(chǎng),同時(shí)甲以先前速度的一半走向會(huì)場(chǎng),又經(jīng)過(guò)10分鐘,乙在B地追上甲,兩人隨后一起以甲放慢后的速度行走1分鐘到達(dá)會(huì)場(chǎng),甲、乙兩人相距的路程y(m)與甲行走的時(shí)間x(min)之間的關(guān)系如圖所示,(乙拿物品的時(shí)間忽略不計(jì)),則A地距離智博會(huì)會(huì)場(chǎng)的距離為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,為中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,連接,在下方有一點(diǎn),滿(mǎn)足,連接.
(1)若,,求的面積;
(2)若,,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的盒子中裝有4張卡片.4張卡片的正面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,這些卡片除數(shù)字外都相同,將卡片攪勻.
(1)從盒子任意抽取一張卡片,恰好抽到標(biāo)有奇數(shù)卡片的概率是: ;
(2)先從盒子中任意抽取一張卡片,再?gòu)挠嘞碌?/span>3張卡片中任意抽取一張卡片,求抽取的2張卡片標(biāo)有數(shù)字之和大于4的概率(請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法求解).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AC平分∠BAD,∠ABC=60°,E為AD上一點(diǎn),AE=2,DE=4,P為AC 上一點(diǎn),則△PDE周長(zhǎng)的最小值為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,D在坐標(biāo)軸上,且已知點(diǎn)A(,),點(diǎn)B(,),現(xiàn)有拋物線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C和OD的中點(diǎn).
(1)求拋物線m的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)拋物線m與x軸的另一交點(diǎn)為F,M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正方形的頂點(diǎn),點(diǎn),反比例函數(shù)
(1)如圖1,雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)求反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)如圖2,正方形向下平移得到正方形邊在軸上,反比例函數(shù)的圖象分別交正方形的邊、邊于點(diǎn)
①求的面積;
②如圖3,軸上一點(diǎn),是否存在是等腰三角形,若存在直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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