【題目】如圖,拋物線y=與x軸分別交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè),)與y軸交于點C,作直線AC.
(1)點B的坐標為 ,直線AC的關(guān)系式為 .
(2)設(shè)在直線AC下方的拋物線上有一動點P,過點P作PD⊥x軸于D,交直線AC于點E,當CE平分∠OEP時求點P的坐標.
(3)點M在x軸上,點N在拋物線上,試問以點A、C、M、N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形?若存在,直接寫出所有點M的坐標;若不存在,請簡述你的理由.
【答案】(1)(2,0),y=x﹣4;(2)P(﹣,﹣);(3)M的坐標為:(5+,0)或(5﹣)或(﹣14,0)或(﹣2,0).
【解析】
(1)令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求出點A、B的坐標,令x=0即可求出點C的坐標;根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式;
(2)先證明OE=OC=4,再設(shè)點E的坐標為(m,m﹣4),然后在Rt△ODE中根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解方程即可求出m的值,進一步即可求出結(jié)果;
(3)①當AC是平行四邊形的邊時,根據(jù)A到C的平移規(guī)律可得N(M)到M(N)的平移規(guī)律,解方程即可求得結(jié)果;②當AC是平行四邊形的對角線時,利用中點坐標公式求解即可.
解:(1)y=,令y=0,則,解得x=2或﹣8,令x=0,則y=﹣4,
所以點A、B、C的坐標分別為:(﹣8,0)、(2,0)、(0,﹣4),
將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式:y=kx+b得:,解得:,
故直線AC的表達式為:y=x﹣4;
故答案為:(2,0),y=x﹣4;
(2)如圖,∵CE平分∠OEP,∴∠OEC=∠CEP,
∵PD∥y軸,∴∠CEP=∠ECO=∠OEC,∴OE=OC=4,
設(shè)點E的坐標為(m,m﹣4),
則在Rt△ODE中,根據(jù)勾股定理,得,
解得:m=﹣或0(不和題意,舍去),
由于P、E的橫坐標相等,所以點P(﹣,﹣ );
(3)設(shè)點M(s,0),N(m,n),則n=m2+m﹣4,
①當AC是平行四邊形的邊時,
則點A向右平移8個單位,再向下平移4個單位得到C,
同理N(M)向右平移8個單位,再向下平移4個單位得到M(N),
即m+8=s,n﹣4=0或m﹣8=s,n+4=0,而n=m2+m﹣4,
當m+8=s,n﹣4=0時,4=m2+m﹣4,解得:,所以s=5±;
當m﹣8=s,n+4=0時,-4=m2+m﹣4,解得:m=﹣6或0(舍去),所以s=﹣14;
②當AC是平行四邊形的對角線時,
利用中點坐標公式得:﹣8=m+s,﹣4=n,而n=m2+m﹣4,解得:s=﹣2;
綜上,s=5±或﹣14或﹣2;
故點M的坐標為:(5+,0)或(5﹣)或(﹣14,0)或(﹣2,0).
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【題目】拋物線與y軸交于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線與坐標軸的交點坐標;
(3)①當x取什么值時, ? 當x取什么值時,y的值隨x的增大而減?
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,M是OA的中點,弦CD⊥AB于點M,過點D作DE⊥CA交CA的延長線于點E.
(1)連接AD,則∠OAD= °;
(2)求證:DE與⊙O相切;
(3)點F在上,∠CDF=45°,DF交AB于點N.若DE=3,求FN的長.
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【題目】在一次海上救援中,兩艘專業(yè)救助船同時收到某事故漁船的求救訊息,已知此時救助船在的正北方向,事故漁船在救助船的北偏西30°方向上,在救助船的西南方向上,且事故漁船與救助船相距120海里.
(1)求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離;
(2)若救助船A,分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā),勻速直線前往事故漁船處搜救,試通過計算判斷哪艘船先到達.
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【題目】為了編撰祖國的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校組織了一次“詩詞大會”,小明和小麗同時參加,其中,有一道必答題是:從如圖所示的九宮格中選取七個字組成一句唐詩,其答案為“山重水復疑無路”.
(1)小明回答該問題時,對第二個字是選“重”還是選“窮”難以抉擇,若隨機選擇其中一個,則小明回答正確的概率是 ;
(2)小麗回答該問題時,對第二個字是選“重”還是選“窮”、第四個字是選“富”還是選“復”都難以抉擇,若分別隨機選擇,請用列表或畫樹狀圖的方法求小麗回答正確的概率.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=(x﹣3)2+m的圖象與y軸交于點C,點B是點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點A(1,0)及點B.
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)拋物線上是否存在一點P,使S△ABP=S△ABC?若存在,請求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】某學校為九年級數(shù)學競賽獲獎選手購買以下三種獎品,其中小筆記本每本5元,大筆記本每本7元,鋼筆每支10元,購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍,共花費346元,若使購買的獎品總數(shù)最多,則這三種獎品的購買數(shù)量各為多少?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,動點P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點A、C同時出發(fā),點Q從點C向點D移動.
(1)若點P從點A移動到點B停止,點Q隨點P的停止而停止移動,點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),問經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm?
(2)若點P沿著AB→BC→CD移動,點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),點Q從點C移動到點D停止時,點P隨點Q的停止而停止移動,試探求經(jīng)過多長時間△PBQ的面積為12cm2?
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,連結(jié)BD,∠BAD=100°,∠DBC=80°.
(1)求證:BD=CD;
(2)若圓O的半徑為9,求的長(結(jié)果保留π).
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