Question

【題目】如圖，二次函數y＝（x﹣3）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數圖象的對稱軸對稱的點，已知一次函數y＝kx+b的圖象經過該二次函數圖象上的點A（1，0）及點B．

（1）求二次函數與一次函數的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣3）2﹣4；y=x﹣1；（2）存在，P點坐標為（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．

【解析】

（1）先將點A（1，0）代入y=（x﹣3）2+m求出m的值，根據點的對稱性確定B點坐標，然后根據待定系數法求出一次函數解析式；

（2）假設存在點P，設點P（a，a2﹣6a+5），根據三角形ABP面積為三角形ABC面積，由兩三角形都以AB為底邊，得到C到直線AB的距離為P到直線AB距離相等，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出滿足題意P的坐標．

（1）將點A（1，0）代入y=（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m=0，解得：m=﹣4．

所以二次函數解析式為y=（x﹣3）2﹣4，即y=x2﹣6x+5；

當x=0時，y=9﹣4=5，所以C點坐標為（0，5），由于C和B關于對稱軸對稱，而拋物線的對稱軸為直線x=3，所以B點坐標為（6，5），將A（1，0）、B（6，5）代入y=kx+b得：，解得：．

所以一次函數解析式為y=x﹣1；

（2）假設存在點P，設點P（a，a2﹣6a+5）．

∵S△ABP=S△ABC，∴C到直線AB的距離為P到直線AB距離相等，∴，即﹣a2+7a﹣6=6或﹣a2+7a﹣6=﹣6，解得：a=3，a=4或a=0（舍去），a=7，則a2﹣6a+5=﹣4或﹣3或12，∴P點坐標為（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．