Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；④PD=EF．其中正確結(jié)論的番號(hào)是（ ）

A.①③④B.①②③C.①③D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

過(guò)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得，即可得到答案．

證明：過(guò)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理，得PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

∴△AGP≌△FPE，

∴AP=EF；故①正確；

延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H，

∴∠PAG=∠PFH，

∵∠APG=∠FPH，

∴∠PHF=∠PGA=90°，

即AP⊥EF；故③正確；

∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP=45度，

∴當(dāng)∠PAD=45度或67.5度或90度時(shí)，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，故②錯(cuò)誤．

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴，故④錯(cuò)誤．

∴正確的選項(xiàng)是①③；

故選：C．