【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B90°,AB8 cm,AD12 cmBC18 cm,點P從點A出發(fā),以1 cm/s的速度向點D運動;點Q從點C同時出發(fā),以2 cm/s的速度向點B運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.在這種情況下請你解決以下問題:

1)從運動開始,當(dāng)t取何值時,四邊形PQBA是矩形;

2)在整個運動過程中是否存在t值,使得四邊形PQCD是菱形?若存在,請求出t值;若不存在,請說明理由;

3)在整個運動過程中是否存在t,使得△DQC是等腰三角形?若存在,請求出t值;若不存在,請說明理由.

【答案】16;(2)不存在,理由詳見解析;(3)存在,當(dāng)t56時,△DQC是等腰三角形.

【解析】

1)由題意,得APt,DP12t,CQ2t,BQ182t.再根據(jù)矩形的判定進行計算即可得到答案.

2)要使四邊形PQCD是菱形,則四邊形PQCD一定是平行四邊形.再題意知當(dāng)t4時,四邊形PQCD是平行四邊形,則DP12t8≠10,即DP≠DC,即可由菱形的判定得到答案.

3)分三種情況討論:①當(dāng)QCDC時,即2t10,∴t5

②當(dāng)DQDC時,過點DDHCQ,由勾股定理得到DC10.則t6

③當(dāng)QDQC時,過點DDHCQ,在RtDQH中,DH2QH2DQ2.計算得到t

解:(1)如圖,由題意,得APt,DP12t,CQ2t,BQ182t

要使四邊形PQBA是矩形,已有∠B90°,AD∥BC,即AP∥BQ,只需滿足APBQ,即t182t,解得t6

所以當(dāng)t6時,四邊形PQBA是矩形.

2)不存在.理由:

要使四邊形PQCD是菱形,則四邊形PQCD一定是平行四邊形.

由例知當(dāng)t4時,四邊形PQCD是平行四邊形.

此時DP12t8≠10,即DP≠DC,

所以按已知速度運動,四邊形PQCD只能是平行四邊形,但不可能是菱形.

3△DQC是等腰三角形時,分三種情況討論:

如圖1,當(dāng)QCDC時,即2t10,∴t5

1

如圖2,當(dāng)DQDC時,過點DDH⊥CQ,

2

QHCHCQt

Rt△DHC中,DH8,CHBCAD6,

∴DC10

∴t6

如圖3,當(dāng)QDQC時,過點DDH⊥CQ,

3

DH8,CH6,DC10,CQQD2t,QH|2t6|

Rt△DQH中,DH2QH2DQ2

∴82|2t6|2(2t)2

解得t

綜上,當(dāng)t56時,△DQC是等腰三角形.

練習(xí)冊系列答案
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(提出問題)

分別作出∠BAD和∠BCD的平分線,兩條角平分線交于點E,如圖(2),∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢?

(解決問題)

為了解決上面的問題,我們先從幾個特殊情況開始探究.

已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點E

1)如圖(3),若ABCD,∠D30°,∠B40°,則∠E   

2)如圖(4),若AB不平行CD,∠D30°,∠B50°,則∠E的度數(shù)是多少呢?

小明是這樣思考的,請你幫他完成推理過程:

易證∠D+1=∠E+3,∠B+4=∠E+2,

∴∠D+1+B+4   ,

CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線,

∴∠1=∠2,∠3=∠4

2E   

又∵∠D30°,∠B50°,

∴∠E   度.

3)在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上,借助圖(2),直接寫出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是:   

(類比應(yīng)用)

如圖(5),∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E

已知:∠Dm°、∠Bn°,(mn)求:∠E的度數(shù).

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租金(單位:元/時)

挖掘土石方量(單位:m3/時)

甲型挖掘機

200

30

乙型挖掘機

260

40

1)若租用甲、乙兩種型號的挖掘機共8臺,恰好完成每小時的挖掘量,則甲、乙兩種型號的挖掘機各需多少臺?

2)如果每小時支付的租金不超過1780元,又恰好完成每小時的挖掘量,那么共有幾種不同的租用方案?

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2)當(dāng)售價x(元/臺)定為多少時,商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w(元)最大?最大利潤是多少?

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