Question

【題目】設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m.n]上的“閉函數(shù)”．如函數(shù) ，當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，即當(dāng) 時(shí)，有 ，所以說(shuō)函數(shù) 是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若二次函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2]上的“閉函數(shù)”，求k的值；
（3）若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的表達(dá)式（用含m，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”．

理由如下：

反比例函數(shù)y= 在第一象限，y隨x的增大而減小，

當(dāng)x=1時(shí)，y=2016； 當(dāng)x=2016時(shí)，y=1，

即圖象過(guò)點(diǎn)（1,2016）和（2016,1）

∴當(dāng)1≤x≤2016時(shí)，有1≤y≤2016，符合閉函數(shù)的定義，

∴反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1，2016]上的“閉函數(shù)”

（2）解：由于二次函數(shù) 的圖象開口向上，

對(duì)稱軸為 ，

∴二次函數(shù) 在閉區(qū)間[1,2]內(nèi)，y隨x的增大而增大．

當(dāng)x=1時(shí)，y=1，

∴k= ．

當(dāng)x=2時(shí)，y=2，

∴k= ．

即圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）和（2,2）

∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有1≤y≤2，符合閉函數(shù)的定義，

∴k=

（3）解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù) 是閉區(qū)間 上的“閉函數(shù)”，

根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有：

（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，即圖象過(guò)點(diǎn)（m,m）和（n,n）

，

解得 ．

∴

（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，即圖象過(guò)點(diǎn)（m,n）和（n,m）

，解得

∴ ，

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為 或

【解析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)y=在第一象限，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=1時(shí)，y=2016；當(dāng)x=2016時(shí)，y=1，即圖象過(guò)點(diǎn)（1，2016）和（2016，1）；當(dāng)1≤x≤2016時(shí)，有1≤y≤2016，符合閉函數(shù)的定義，得到反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2016]上的“閉函數(shù)”；（2）由于二次函數(shù) y=x22xk的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，二次函數(shù)在閉區(qū)間[1，2]內(nèi)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x=1時(shí)，y=1，k= ；當(dāng)x=2時(shí)，y=2，k= ；即圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）和（2，2）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有1≤y≤2，符合閉函數(shù)的定義，求出k的值；（3）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)k＞0時(shí)，得到y(tǒng)=x；當(dāng)k＜0時(shí)，得到y(tǒng)=-x+m+n，得到一次函數(shù)的表達(dá)式.