【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過點D作DE⊥AC,垂足為F,
DE與AB相交于點E.
(1)求證:ABAF=CBCD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是線段DE上的動點.設DP=x cm,梯形BCDP的面積為y
①求y關于x的函數(shù)關系式.
②y是否存在最大值?若有求出這個最大值,若不存在請說明理由.

【答案】
(1)證明:∵AD=CD,DE⊥AC,

∴DE垂直平分AC,

∴AF=CF,∠DFA=∠DFC=90°,∠DAF=∠DCF.

∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,

∴∠DCF=∠DAF=∠B.

在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B,

∴△DCF∽△ABC.

,即 ,

∴ABAF=CBCD;


(2)解:連接PB,

①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,

∴AC= =12,

∴CF=AF=6.

∴y= (x+9)×6=3x+27;

②由EF∥BC,得△AEF∽△ABC.

AE=BE= AB= ,EF=

由∠EAD=∠AFE=90°,∠AEF=∠DEA,得△AEF∽△DEA.

Rt△ADF中,AD=CD= =10,AF=6,

∴DF=8.

∴DE=DF+FE=8+ =

∵y=3x+27(0≤x≤ ),函數(shù)值y隨著x的增大而增大,

∴當x= 時,y有最大值,此時y=


【解析】(1)首先判斷出DE垂直平分AC,然后根據(jù)中垂線的性質(zhì)及等邊對等角得出AF=CF,∠DFA=∠DFC=90°,∠DAF=∠DCF,然后根據(jù)同角的余角相等得出∠DCF=∠DAF=∠B,進而判斷出△DCF∽△ABC,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出結(jié)論;
(2)連接PB,①根據(jù)勾股定理算出AC,進而得出CF=AF=6,然后根據(jù)梯形的面積公式得出y關于x的函數(shù)關系式;②由EF∥BC,得△AEF∽△ABC.由相似三角形對應邊成比例得出AE,BE,EF的長,然后再判斷出△AEF∽△DEA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出DF的長,進而得出DE=DF+FE,最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論。
【考點精析】認真審題,首先需要了解線段垂直平分線的判定(和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上),還要掌握線段垂直平分線的性質(zhì)(垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線;線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等)的相關知識才是答題的關鍵.

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競選人

A

B

C

筆試

85

95

90

口試

80

85


(1)請將表和圖1中的空缺部分補充完整.
(2)競選的最后一個程序是由本系的300名學生進行投票,三位候選人的得票情況如圖2(沒有棄權票,每名學生只能推薦一個),則B在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是度.
(3)若每票計1分,系里將筆試、口試、得票三項測試得分按4:3:3的比例確定個人成績,請計算三位候選人的最后成績,并根據(jù)成績判斷誰能當選.

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進價千克

售價千克

A種水果

5

8

B種水果

9

13

若該水果店購進這兩種水果共花費1020元,求該水果店分別購進A,B兩種水果各多少千克?

的基礎上,為了迎接春節(jié)的來臨,水果店老板決定把A種水果全部八折出售,B種水果全部降價出售,那么售完后共獲利多少元?

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