Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為正方形外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AED＝45°，P為AB中點(diǎn)，線段PE的最大值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)點(diǎn)E在正方形右側(cè)時(shí)，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，EO，根據(jù)A，C，E，D四點(diǎn)共圓，可得OE＝OD＝，再根據(jù)PE≤OP+OE＝，可得當(dāng)點(diǎn)O在線段PE上時(shí)，PE＝OP+OE＝，則線段PE的最大值為；

當(dāng)點(diǎn)E在正方形上方時(shí)，作斜邊為AD的等腰直角△AOD，則點(diǎn)E在以O為圓心，OA為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)O，點(diǎn)E共線時(shí)，PE的值最大，求得此時(shí)PE最大值為；比較兩個(gè)最大值，可得最終結(jié)果．

解：如圖，若點(diǎn)E在正方形右側(cè)，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，EO，

∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，

∴A，C，E，D四點(diǎn)共圓，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，

∴OE＝OD＝BD＝，

∵P為AB的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，

∴OP＝AD＝，

∵PE≤OP+OE＝+，

∴當(dāng)點(diǎn)O在線段PE上時(shí)，PE＝OP+OE＝+，

即線段PE的最大值為+，

如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD上方，

作斜邊為AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，

則點(diǎn)E在以O為圓心，OA為半徑的圓上，

∴當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)O，點(diǎn)E共線時(shí)，PE的值最大，

過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°

∴AO＝，∠OAD＝45°，

∵ON⊥AB，AD⊥AB

∴∠NAO＝∠NOA＝45°

∴AN＝NO＝

∴PO＝

∴PE最大值為，

故答案為.