【題目】如圖,將一個(gè)直角三角形紙片,放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn).將沿翻折得到(點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)).
(Ⅰ)求的長及點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)點(diǎn)是線段上的點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn).
①已知,,是軸上的動點(diǎn),當(dāng)取最小值時(shí),求出點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)到直線的距離;
②連接,,且,現(xiàn)將沿翻折得到(點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)),再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,射線,交直線分別為點(diǎn),,最后將沿翻折得到(點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)),連接,若,求點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).
【答案】(Ⅰ),點(diǎn)坐標(biāo)為;(Ⅱ)①點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)到直線的距離為;②或或.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和翻折的性質(zhì)可得四邊形OBAD為正方形,即可得出D點(diǎn)坐標(biāo),再利用勾股定理得出OA的長.
(Ⅱ)①作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),連接與軸交于點(diǎn),則點(diǎn)即為所求,再根據(jù)待定系數(shù)法確定直線的解析式,求出直線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)等積法求出點(diǎn)到直線的距離即可.
②分(a)當(dāng)點(diǎn)M在線段EA的延長線上,點(diǎn)N在線段AE時(shí),(b)當(dāng)點(diǎn)M,N在線段EA上時(shí),(c)當(dāng)點(diǎn)M在線段EA上,點(diǎn)N在AE的延長線上時(shí),三種情況進(jìn)行討論,作MH⊥OB于H,GK⊥EB于K,然后證明△AMH≌△GAK,推出HM=EH=BK,BH=GK,所以BH=EK=GK,從而得出∠MEG=90°,由NE:EG=5:12,設(shè)NE=5k,EG=12k,則MN=NG=13k,EM=18k,可得BH=GK=EK=6k,EH=MH=9k,再根據(jù)HE=AH+AE,得出關(guān)于k的方程,得出k的值即可解決問題;
解:(Ⅰ)如圖,∵,,
∴,.
在中,.
∵,
∴.
∵將沿翻折得到,
∴.
∴
∴點(diǎn)落在軸上.點(diǎn)坐標(biāo)為.
(Ⅱ)①如圖,作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),連接與軸交于點(diǎn),連接,若在軸上任取點(diǎn)(與點(diǎn)不重合).連接,,,
由,
可知最小.
∵將沿翻折得到.
∴,
∵,
.
∴.
∵,
∴.
設(shè)直線的方程為.
將的坐標(biāo)代入,
得,
解得.
∴直線的方程為
當(dāng)時(shí),,
∴當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.
在中,,.
∴.
過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),
∵,
∴
∴當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)到直線的距離為.
②(a)如圖3中,當(dāng)點(diǎn)M在線段EA的延長線上,點(diǎn)N在線段AE時(shí),
作MH⊥OB于H,GK⊥EB于K,
由翻折可知:∠MBN=∠NBG=45°,BM=BG,
∴∠MBG=90°,
∵∠MHB=∠K=90°,
∴∠MBH+∠GBK=90°,∠HBM+∠BMH=90°,
∴∠BMH=∠GBK,
∴△BMH≌△GBK,
∴HM=EH=BK,BH=GK,
∴BH=EK=GK,
∴∠GEK=∠BEA=45°,
∴∠MEG=90°,
∵NE:EG=5:12,設(shè)NE=5k,EG=12k,則MN=NG=13k,EM=18k,
∴BH=GK=EK=6k,EH=MH=9k,
∵HE=BH+BE,
∴9k=6k+3,
∴k=,∴EH=MH=9,
∴OH=3.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
(b)如圖4中,當(dāng)點(diǎn)M,N在線段EA上時(shí),同法可得:點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(c)如圖5中,當(dāng)點(diǎn)M在線段EA上,點(diǎn)N在AE的延長線上時(shí),同法可得:點(diǎn)的坐標(biāo)為.
綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、AC、BC分別交于點(diǎn)E、O、F.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AB=5,BC=12,求菱形AFCE的面積.
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【題目】我市在創(chuàng)建全國文明城市過程中,決定購買A、B兩種樹苗對某路段道路進(jìn)行綠化改造,已知購買A種樹苗5棵,B種樹苗3棵,需要840元;購買A種樹苗3棵,B種樹苗5棵,需要760元.
(1)求購買A、B兩種樹苗每棵各需多少元?
(2)考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn),購進(jìn)A種樹苗不能少于30棵,且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過10000元,現(xiàn)需購進(jìn)這兩種樹苗共100棵,怎樣購買所需資金最少?
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【題目】在矩形ABCD中,AB<AD,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,動點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā),沿AB→BC→CD向點(diǎn)D運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為x,△AOP的面積為y,y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示,則AD邊的長為( 。
A.3B.4C.5D.6
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【題目】如圖,在菱形中,,,點(diǎn)是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn),若以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則,(,兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為( )
A.B.C.D.
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【題目】下面是小明主設(shè)計(jì)的“作一個(gè)含30°角的直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.
已知:直線l.
求作:△ABC,使得∠ACB=90°,∠ABC=30°.
作法:如圖,
①在直線l上任取兩點(diǎn)O,A;
②以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑畫弧,交直線l于點(diǎn)B;
③以點(diǎn)A為圓心,AO長為半徑畫弧,交于點(diǎn)C;
④連接AC,BC.
所以△ABC就是所求作的三角形.
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程:
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:在⊙O中,AB為直徑,
∴∠ACB=90°(① ),(填推理的依據(jù))
連接OC
∵OA=OC=AC,
∴∠CAB=60°,
∴∠ABC=30°(② ),(填推理的依據(jù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為BC邊上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),延長AE到點(diǎn)F,連接BF,且∠AFB=45°,G為DC邊上一點(diǎn),且DG=BE,連接DF,點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M,連接AM、BM.
(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全圖形;
(2)求證:∠DAG=∠MAB;
(3)用等式表示線段BM、DF與AD的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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【題目】如圖,以A(0, )為圓心的圓與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O,與y軸相交于點(diǎn)B,弦BD的延長線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)E,且∠BEO=60°,AD的延長線交x軸于點(diǎn)C.
(1)分別求點(diǎn)E、C的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過A、C兩點(diǎn),且以過E而平行于y軸的直線為對稱軸的拋物線的函數(shù)解析式;
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與AC的交點(diǎn)為M,試判斷以M點(diǎn)為圓心,ME為半徑的圓與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,3),則C點(diǎn)坐標(biāo)是_____.
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