Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F，連接BF，且∠AFB＝45°，G為DC邊上一點(diǎn)，且DG＝BE，連接DF，點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM、BM．

（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

（2）求證：∠DAG＝∠MAB；

（3）用等式表示線段BM、DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) BM2+DF2＝2AD2；證明見解析.

【解析】

（1）由題意畫出圖形即可；
（2）由SAS證明△ABE≌△ADG得出∠BAE=∠DAG，由對(duì)稱的性質(zhì)得出∠BAE=∠MAB，即可得出∠DAG=∠MAB；
（3）連接BD，延長(zhǎng)MB交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由SAS證明△BAN≌△DAF得出∠N=∠AFD=45°，得出∠BFD=90°，由勾股定理得出BF2+DF2=BD2，即可得出結(jié)論．

（1）如圖1所示：

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADG＝90°，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，

∵點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為M，

∴∠BAE＝∠MAB，

∴∠DAG＝∠MAB；

（3）BM2+DF2＝2AD2；理由如下：

連接BD，延長(zhǎng)MB交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖2所示：

∵∠BAD＝90°，∠DAG＝∠MAB，

∴∠MAN＝90°，

由對(duì)稱性可知：∠M＝∠AFB＝45°，

∴∠N＝45°，

∴∠M＝∠N，

∴AM＝AN，

∵AF＝AM，

∴AF＝AN，

∵∠BAE＝∠DAG，

∴∠BAN＝∠DAF，

在△BAN和△DAF中，

，

∴△BAN≌△DAF（SAS），

∴∠N＝∠AFD＝45°，

∴∠BFD＝90°，

∴BF2+DF2＝BD2，

∵BDAD，BM＝BF，

∴BM2+DF2＝2AD2．