Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn).點(diǎn)是軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（包含點(diǎn),）．作直線，若過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，請求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形．若存在，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積的最大值為5，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，1.5或．

【解析】

（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計(jì)算即可；

（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，，先求出PQ的最大值，進(jìn)而得到面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，，同樣求出PQ的最大值，進(jìn)而得到面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后兩者比較大小即可；

（3）分別討論當(dāng)CQ=CP，CQ=QP及CP=QP時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理計(jì)算即可．

解：（1）根據(jù)題意，拋物線的解析式可寫為：，

即，

，.

∴ 該拋物線的解析式為.

（2）如圖，連接，.

將代入得，.

.

設(shè)直線的解析式為.

將，代入得，

解得

∴直線的解析式為：.

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，，

則，，

，

∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，.

∴面積的最大值為：.

當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，，

∴

∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，.

∴面積的最大值為：.

∵，

∴面積的最大值為5，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，

∴PQ=||=||，

如圖，當(dāng)CQ=CP時(shí)，過點(diǎn)C作CH⊥PQ，

則PQ=2QC，

∵點(diǎn)C（0，-2），

∴QC=||=||，

∴||=2||，

解得m=2或m=0（舍去）

如圖，當(dāng)CQ=QP時(shí)，則CQ=QP=||，

過點(diǎn)C作CH⊥PQ，則CH=|m|，QH=||，

在Rt△QCH中，QC2=QH2+CH2，

∴，

解得m=或m=（舍去）或m=0（舍去），

如圖，當(dāng)CP=QP時(shí)，則CP=QP=||，

過點(diǎn)C作CH⊥PQ，則CH=|m|，PH=||=||，

在Rt△PCH中，PC2=PH2+CH2，

∴，

解得m=1.5，

∴存在點(diǎn)，使是等腰三角形，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，1.5或.