【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不點(diǎn)B,C重合),過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D,求PD的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)E,點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn),N為y軸上一點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)PD的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣);(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1(2,3),M2(2,1﹣2),M3(2,1+2)
【解析】
(1)用待定系數(shù)法法求解;把已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析式可得;
(2)設(shè)P(m,m2﹣4m+3),將點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入得直線BC解析式為yBC=﹣x+3.過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D,則D(m,﹣m+3),PD==﹣(m﹣)2+,求函數(shù)最值可得.
(3)設(shè)存在以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.根據(jù)題意,點(diǎn)E(2,1),EF=CF=2,求出EC=2,根據(jù)菱形性質(zhì),ME=EC=2,可求出M的坐標(biāo);注意當(dāng)EM=EF=2時(shí),M(2,3).
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0),與
y軸交于點(diǎn)C,
∴,解得,
∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;
(2)如圖:
設(shè)P(m,m2﹣4m+3),
將點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入得直線BC解析式為yBC=﹣x+3.
∵過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D,
∴D(m,﹣m+3),
∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m.
=﹣(m﹣)2+.
∴當(dāng)m=時(shí),PD有最大值.
當(dāng)m=時(shí),m2﹣4m+3=﹣.
∴P(,﹣).
答:PD的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣).
(3)存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
根據(jù)題意,點(diǎn)E(2,1),
∴EF=CF=2,
∴EC=2,
根據(jù)菱形的四條邊相等,
∴ME=EC=2,
∴M(2,1﹣2)或(2,1+2)
當(dāng)EM=EF=2時(shí),M(2,3)
答:點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1(2,3),M2(2,1﹣2),M3(2,1+2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某學(xué)校興趣小組活動(dòng)情況,隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,按A:藝術(shù),B:科技,C:體育,D:其他四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了兩幅統(tǒng)計(jì)圖(均不完整),請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答以下問題:
(1)本次接受問卷調(diào)查的共有 人:在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”選項(xiàng)所占的百分比為 ;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“B”選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)扇形圓心角為 度;
(3)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)若全校有2000人,請(qǐng)你估算一下全校喜歡藝術(shù)類學(xué)生的人數(shù)有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線ABy=kx﹣1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,直線CDy=x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、C,且直線AB、CD交于點(diǎn)E,E的橫坐標(biāo)為﹣6.
(1)如圖①,求直線AB的解析式;
(2)如圖②,點(diǎn)P為直線BA第一象限上一點(diǎn),過P作y軸的平行線交直線CD于G,交x軸于F,在線段PG取點(diǎn)N,在線段AF上取點(diǎn)Q,使GN=QF,在DG上取點(diǎn)M,連接MN、QN,若∠GMN=∠QNF,求的值;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為T,連接MP、TQ,若MP∥TQ,且GN:NP=4:3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)九(1)班為了了解全班學(xué)生喜歡球類活動(dòng)的情況,采取全面調(diào)查的方法,從足球、乒乓球、籃球、排球等四個(gè)方面調(diào)查了全班學(xué)生的興趣愛好,根據(jù)調(diào)查的結(jié)果組建了4個(gè)興趣小組,并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖①,②,要求每位學(xué)生只能選擇一種自己喜歡的球類),請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)九(1)班的學(xué)生人數(shù)為 ,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中m= ,n= ,表示“足球”的扇形的圓心角是 度;
(3)排球興趣小組4名學(xué)生中有3男1女,現(xiàn)在打算從中隨機(jī)選出2名學(xué)生參加學(xué)校的排球隊(duì),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學(xué)生恰好是1男1女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】AB是⊙O的直徑,C點(diǎn)在⊙O上,F是AC的中點(diǎn),OF的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,∠A=∠BCE.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若BC=BE,判定四邊形OBCD的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形中,,點(diǎn)是的中點(diǎn),將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置,使,其中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為弧,連接,則圖中陰影部分的面積為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).點(diǎn)是軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(包含點(diǎn),).作直線,若過點(diǎn)作軸的垂線,交直線于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在點(diǎn),使是等腰三角形.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】盒中有x個(gè)黑球和y個(gè)白球,這些球除顏色外無其他差別.若從盒中隨機(jī)取一個(gè)球,它是黑球的 概率是;中再放進(jìn)1個(gè)黑球,這時(shí)取得黑球的概率變?yōu)?/span>
(1)填空:x=_____________, y=____________________;
(2)小王和小林利用x黑球和y個(gè)白球進(jìn)行摸球游戲。約定:從盒中隨機(jī)摸取一個(gè),接著從剩下的球中再隨機(jī)摸取一個(gè),若兩球顏色相同則小王勝,若顏色不同則小林勝.求兩個(gè)人獲勝的概率各是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·泰安)如圖,是將拋物線平移后得到的拋物線,其對(duì)稱軸為,與軸的一個(gè)交點(diǎn)為,另一交點(diǎn)為,與軸交點(diǎn)為.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象上一點(diǎn),若四邊形為平行四邊形,這樣的點(diǎn)是否存在?若存在,分別求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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