【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為3cm,P,Q分別從B,A出發(fā)沿BC,AD方向運(yùn)動,P點(diǎn)的運(yùn)動速度是1cm/秒,Q點(diǎn)的運(yùn)動速度是2cm/秒,連接A,P并過Q作QE⊥AP垂足為E.
(1)求證:△ABP∽△QEA;
(2)當(dāng)運(yùn)動時間t為何值時,△ABP≌△QEA;
(3)設(shè)△QEA的面積為y,用運(yùn)動時刻t表示△QEA的面積y(不要求考t的取值范圍).(提示:解答(2)(3)時可不分先后)
【答案】
(1)
證明:∵四邊形ABCD為正方形;
∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°,
∵QE⊥AP;
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°
∴∠BAP=∠EQA,∠B=∠AEQ;
∴△ABP∽△QEA(AA)
(2)
解:∵△ABP≌△QEA;
∴AP=AQ(全等三角形的對應(yīng)邊相等);
在RT△ABP與RT△QEA中根據(jù)勾股定理得AP2=32+t2,AQ2=(2t)2
即32+t2=(2t)2
解得t1= ,t2=﹣ (不符合題意,舍去)
答:當(dāng)t取 時△ABP與△QEA全等
(3)
解:由(1)知△ABP∽△QEA;
∴ =( )2
∴ =( )2
整理得:y= .
【解析】本題主要考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可;(2)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì),利用勾股定理解答即可;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出函數(shù)解析式即可.
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三角形ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)O做直線MN平行于BC,設(shè)MN∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)試說明:EO=FO;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上,根據(jù)參加男子跳高初賽的運(yùn)動員的成績(單位:m),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②,請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)圖1中a的值為;
(2)求統(tǒng)計(jì)的這組初賽成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)根據(jù)這組初賽成績,由高到低確定9人進(jìn)入復(fù)賽,請直接寫出初賽成績?yōu)?.65m的運(yùn)動員能否進(jìn)入復(fù)賽.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且與雙曲線y= 交于點(diǎn)C(1,a).
(1)試確定雙曲線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)將l1沿y軸翻折后,得到l2 , 畫出l2的圖象,并求出l2的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P是線段AC上點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),過點(diǎn)P作x軸的平行線,分別交l2于點(diǎn)M,交雙曲線于點(diǎn)N,求S△AMN的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是博文學(xué)校初三一班慧慧、聰聰兩名學(xué)生入學(xué)以來10次數(shù)學(xué)檢測成績(單位:分).
慧慧 | 116 | 124 | 130 | 126 | 121 | 127 | 126 | 122 | 125 | 123 |
聰聰 | 122 | 124 | 125 | 128 | 119 | 120 | 121 | 128 | 114 | 119 |
回答下列問題:
(1)分別求出慧慧和聰聰成績的平均數(shù);
(2)分別計(jì)算慧慧和聰聰兩組數(shù)據(jù)的方差;
(3)根據(jù)(1)(2)你認(rèn)為選誰參加全國數(shù)學(xué)競賽更合適?并說明理由;
(4)由于初三二班、初三三班和初三四班數(shù)學(xué)成績相對薄弱,學(xué)校打算派慧慧和聰聰分別參加三個班的數(shù)學(xué)業(yè)余輔導(dǎo)活動,求兩名學(xué)生分別在初三二班和初三三班的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,E為邊CD上一點(diǎn),將△ADE沿AE折疊至△AD′E處,AD′與CE交于點(diǎn)F.若∠B=52°,∠DAE=20°,則∠FED′的大小為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,P為邊AB上一點(diǎn).
(1)如圖1,若∠ACP=∠B,求證:AC2=APAB;
(2)若M為CP的中點(diǎn),AC=2.
①如圖2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的長;
②如圖3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接寫出BP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的兩個不相等的實(shí)數(shù)根分別為a和b,且a2﹣ab+b2=18,則 + 的值是( )
A.3
B.﹣3
C.5
D.﹣5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x﹣1與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P(n,﹣1)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,延長EP交直線AB于點(diǎn)F,求△CEF的面積.
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