Question

【題目】在△ABC中，P為邊AB上一點．
（1）如圖1，若∠ACP=∠B，求證：AC2=APAB；

（2）若M為CP的中點，AC=2．
①如圖2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的長；
②如圖3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴ ，

∴AC2=APAB；

（2）

解：①取AP在中點G，連接MG，設AG=x，則PG=x，BG=3﹣x，

∵M是PC的中點，

∴MG∥AC，

∴∠BGM=∠A，

∵∠ACP=∠PBM，

∴△APC∽△GMB，

∴ ，

即 ，

∴x= ，

∵AB=3，

∴AP=3﹣ ，

∴PB= ；

②過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE=BP，

∵∠ABC=45°，∠A=60°，

∴CH= ，HE= +x，

∵CE2= +9 +x）2，

∵PB=BE，PM=CM，

∴BM∥CE，

∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，

∵∠E=∠E，

∴△ECP∽△EAC，

∴ ，

∴CE2=EPEA，

∴3+3+x2+2 x=2x（x+ +1），

∴x= ﹣1，

∴PB= ﹣1．

【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線的性質，三角形的中位線的性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結論；（2）①取AP在中點G，連接MG，設AG=x，則PG=x，BG=3﹣x，根據(jù)三角形的中位線的性質得到MG∥AC，由平行線的性質得到∠BGM=∠A，∵∠根據(jù)相似三角形的性質得到 ，求得x= ，即可得到結論；②過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE=BP解直角三角形得到CH= ，HE= +x，根據(jù)勾股定理得到CE2= +9 +x）2根據(jù)相似三角形的性質得到CE2=EPEA列方程即可得到結論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．