【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AM、BN分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B,CD交AM、BN于點(diǎn)D、C,DO平分∠ADC.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)設(shè)AD=4,AB=x (x>0),BC=y (y>0).求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.
【答案】
(1)解:過O作OE⊥CD于點(diǎn)E,則∠OED=90°.
∵⊙O與AM相切于點(diǎn)A,
∴∠OAD=90°.
∵OD平分∠ADE,
∴∠ADO=∠EDO.
∵OD=OD,
∴△OAD≌△OED.
∴OE=OA.
∵OA是⊙O的半徑,
∴OE是⊙O的半徑.
∴CD是⊙O的切線
(2)解:如圖2所示:過O作OE⊥CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,則DF=AB=x.
∵AD=4,BC=y,
∴CF=BC﹣AD=y﹣4.
由切線長定理可得:DE=DA,CE=CB,
∴CD=CE+ED
=BC+AD
=4+y
在Rt△DFC中,
∵CD2=DF2+FC2
∴(y+4)=x2+(y﹣4)2.
整理得:y= x2,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為:y= x2
【解析】(1)過O作OE⊥CD于點(diǎn)E,則∠OED=90°.依據(jù)切線的性質(zhì)可知∠OAD=90°,接下來證明△OAD≌△OED,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知OA=OE,故此OE為⊙O的半徑,則CD是⊙O的切線;(2)如圖2所示:過O作OE⊥CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,則DF=AB=x.由切線長定理可得:DE=DA,CE=CB,則CD=4+y,在Rt△DFC中依據(jù)勾股定理可得到(y+4)=x2+(y﹣4)2 , 從而可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,P為邊AB上一點(diǎn).
(1)如圖1,若∠ACP=∠B,求證:AC2=APAB;
(2)若M為CP的中點(diǎn),AC=2.
①如圖2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的長;
②如圖3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接寫出BP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【探究證明】
(1)某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究,提出下列問題,請(qǐng)你給出證明.
如圖1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分別交AB,CD于點(diǎn)E,F(xiàn),GH分別交AD,BC于點(diǎn)G,H.求證: = ;
【結(jié)論應(yīng)用】
(2)如圖2,在滿足(1)的條件下,又AM⊥BN,點(diǎn)M,N分別在邊BC,CD上,若 = ,則 的值為;
【聯(lián)系拓展】
(3)如圖3,四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,點(diǎn)M,N分別在邊BC,AB上,求 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x﹣1與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P(n,﹣1)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,延長EP交直線AB于點(diǎn)F,求△CEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣4,1)、B(﹣1,1)、C(﹣4,3).
(1)畫出Rt△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形Rt△A1B1C1;
(2)若Rt△ABC與Rt△A2BC2關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱,則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為、C2的坐標(biāo)為
(3)求點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°到點(diǎn)A2時(shí),點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2﹣4ax+b與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)a=﹣1時(shí),將拋物線向上平移m個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)(5,﹣7).
①求m的值及平移前、后拋物線的頂點(diǎn)P、Q的坐標(biāo).
②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)D,問:在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)E,使得△ECD的面積是△EPQ的3倍?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC是邊長為4的等邊三角形,點(diǎn)O在邊AB上,⊙O過點(diǎn)B且分別與邊AB,BC相交于點(diǎn)D,E,EF⊥AC,垂足為F.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線;
(2)當(dāng)直線DF與⊙O相切時(shí),求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車從A、B兩地于上午9點(diǎn)鐘同時(shí)出發(fā),相向而行,已知甲的速度比乙快2千米/時(shí),到上午11時(shí)兩車還相距36千米,又過了2小時(shí)后,兩車又相距36千米.
(1)求甲乙兩地間的距離與兩車的速度;
(2)若甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)相向而行,到B、A兩地后立即返回,求兩車第一次相遇和第二次相遇所走的時(shí)間是多少?
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