【題目】如圖,二次函數(shù)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)C,與x軸的交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D(0,3).

(1)求這個(gè)拋物線的解析式;

(2)如圖,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣2,若直線PQ為拋物線的對稱軸,點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn),則x軸上是否存在一點(diǎn)H,使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最小?若存在,求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)如圖,連接ACy軸于M,在x軸上是否存在點(diǎn)P,使以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】

1 設(shè)所求拋物線的解析式為:,A(1,0)B(-3,0)、 D0,3)代入,得…………………………………………2

即所求拋物線的解析式為:……………………………3

2 如圖,在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I,使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱,

x軸上取一點(diǎn)H,連接HF、HI、HG、GD、GE,則HFHI…………………①

設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:ykxbk≠0),

點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2,將x-2,代入拋物線,得

點(diǎn)E坐標(biāo)為(-23………………………………………………………………4

拋物線圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(1,0)B(-3,0)、

D0,3),所以頂點(diǎn)C-1,4

拋物線的對稱軸直線PQ為:直線x-1[中國教#&~@育出%版網(wǎng)]

點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱,GDGE……………………………………………②

分別將點(diǎn)A10)、點(diǎn)E-23

代入ykxb,得:

解得:

AE兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:

y-x1

當(dāng)x0時(shí),y1

點(diǎn)F坐標(biāo)為(01……………………5

=2………………………………………③

點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱,

點(diǎn)I坐標(biāo)為(0-1

……………………………………④

要使四邊形DFHG的周長最小,由于DF是一個(gè)定值,

只要使DGGHHI最小即可 ……………………………………6

由圖形的對稱性和、,可知,

DGGHHFEGGHHI

只有當(dāng)EI為一條直線時(shí),EGGHHI最小

設(shè)過E-23)、I0-1)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為:,

分別將點(diǎn)E-2,3)、點(diǎn)I0-1)代入,得:

解:

IE兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:y-2x-1

當(dāng)x-1時(shí),y1;當(dāng)y0時(shí),x-

點(diǎn)G坐標(biāo)為(-1,1),點(diǎn)H坐標(biāo)為(-,0

四邊形DFHG的周長最小為:DFDGGHHFDFEI

,可知:

DFEI

四邊形DFHG的周長最小為. …………………………………………7

3 如圖,

(2)可知,點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)C-1,4),設(shè)過A(1,0),點(diǎn)C-1,4)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為:,得:

解得:

A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:y-2x+2,當(dāng)x0時(shí),y2,即M的坐標(biāo)為(0,2);

由圖可知,△AOM為直角三角形,且………………8

要使,△AOM△PCM相似,只要使△PCM為直角三角形,且兩直角邊之比為1:2即可,設(shè)P(,0),CM=,且∠CPM不可能為90°時(shí),因此可分兩種情況討論; ……………………………………………………………………………9

當(dāng)∠CMP=90°時(shí),CM=,若,可求的P-4,0),則CP=5,,即P-4,0)成立,若由圖可判斷不成立;……………………………………………………………………………………10

當(dāng)∠PCM=90°時(shí),CM=,若,可求出

P-3,0),則PM=,顯然不成立,若,更不可能成立.……11

綜上所述,存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,012

【解析】

(1)直接利用三點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式;

2)若四邊形DFHG的周長最小,應(yīng)將邊長進(jìn)行轉(zhuǎn)換,利用對稱性,要使四邊形DFHG的周長最小,由于DF是一個(gè)定值,只要使DGGHHI最小即可,

由圖形的對稱性和,可知,HFHI,GDGE

DGGHHFEGGHHI

只有當(dāng)EI為一條直線時(shí),EGGHHI最小,即

,DFEI

即邊形DFHG的周長最小為.

3)要使△AOM△PCM相似,只要使△PCM為直角三角形,且兩直角邊之比為1:2即可,設(shè)P(,0)CM=,且∠CPM不可能為90°時(shí),因此可分兩種情況討論,當(dāng)∠CMP=90°時(shí),CM=,若,可求的P-4,0),則CP=5,,即P-4,0)成立,若由圖可判斷不成立;當(dāng)∠PCM=90°時(shí),CM=,若,可求出P-3,0),則PM=,顯然不成立,若,更不可能成立. 即求出以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似的P的坐標(biāo)(-40

練習(xí)冊系列答案
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A. x1>x2>1,則(y1-y2)+2a(x1-x2)<0

B. 1>x1>x2,則(y1-y2)+2a(x1-x2)<0

C. x1>x2>1,則(y1-y2)+a(x1-x2)>0

D. 1>x1>x2,則(y1-y2)+a(x1-x2)>0

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通過學(xué)習(xí),我們知道可以用圖1的面積來解釋公式,人們經(jīng)常稱作用面積解釋代數(shù)恒等式實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示,如可用圖2表示

請根據(jù)閱讀材料,解答下列問題:

1)請寫出圖3所表示的代數(shù)恒等式: ;

2)試畫一個(gè)幾何圖形,使它的面積表示:;

3)請仿照上述方法另寫一個(gè)含有的代數(shù)恒等式,并畫出與它對應(yīng)的幾何圖形.

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1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí):

①求證:

②判斷之間的數(shù)量關(guān)系是

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí),其他條件不變,判斷之間存在的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;

3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在邊的反向延長線上時(shí),其他條件不變,請直接寫出之間存在的數(shù)量關(guān)系為

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A. y1,y2開口方向、開口大小不一定相同

B. 因?yàn)?/span>y1,y2的對稱軸相同

C. 如果y2的最值為m,則y1的最值為km

D. 如果y2x軸的兩交點(diǎn)間距離為d,則y1x軸的兩交點(diǎn)間距離為|k|d

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①∠ABC=ADC;

AC與BD相互平分;

AC,BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角;

四邊形ABCD的面積S=ACBD.

正確的是 (填寫所有正確結(jié)論的序號)

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(1)在其他條件不變的情況下使得ADBC,如圖2,將線段AB沿AD方向平移AD的長度,得到線段DE,然后聯(lián)結(jié)BE,進(jìn)而利用所學(xué)知識(shí)得到AD、CBCD(或AB)之間的關(guān)系:   ;(直接寫出結(jié)果)

(2)根據(jù)小亮的經(jīng)驗(yàn),請對圖1的情況(ADCB不平行)進(jìn)行嘗試,寫出AD、CBCD(或AB)之間的關(guān)系,并進(jìn)行證明;

(3)綜合(1)、(2)的證明結(jié)果,請寫出完整的結(jié)論:   

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①AE=CF;

②△EPF是等腰直角三角形;

③EF=AB;

,當(dāng)∠EPF△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合),上述結(jié)論中始終正確的有________(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上).

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