Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x﹣3與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作y軸的垂線l，直線l與直線y=2x﹣3交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如果拋物線y=nx2﹣4nx+5n（n＞0）與線段BC有唯一公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=2x﹣3與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣3），

∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（0，3），l為直線y=3，

∵直線y=2x﹣3與直線l交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，3），

（2）解：∵拋物線y=nx2﹣4nx+5n（n＞0），

∴y=nx2﹣4nx+4n+n=n（x﹣2）2+n（n＞0）

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n），

∵點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C（3，3），

①當(dāng)n＞3時(shí)，拋物線的最小值為n＞3，與線段BC無公共點(diǎn)；

②當(dāng)n=3時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為（2，3），在線段BC上，此時(shí)拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)；

③當(dāng)0＜n＜3時(shí)，拋物線最小值為n，與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)；

如果拋物線y=n（x﹣2）2+n經(jīng)過點(diǎn)B，則3=5n，解得n= ，

由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，3），

點(diǎn)（4，3）不在線段BC上，此時(shí)拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)B；

如果拋物線y=n（x﹣2）2+n經(jīng)過點(diǎn)C，則3=2n，解得n= ，

由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，3），

點(diǎn)（1，3）在線段BC上，此時(shí)拋物線與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng) ≤n＜ 或n=3時(shí)，拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】（1）根據(jù)題意分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）求得拋物線的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)的坐標(biāo)；再分類討論①當(dāng)n＞3時(shí)；②當(dāng)n=3時(shí)；③當(dāng)0＜n＜3時(shí)，拋物線y=nx2﹣4nx+5n（n＞0）與線段BC有唯一公共點(diǎn)，求n的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．