【題目】如圖所示,△ABC的外接圓⊙O的半徑為2,過點(diǎn)C作∠ACD=∠ABC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若∠ABC=45°,∠D=30°.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)求 的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:連接OA、OC.則∠AOC=2∠ABC=90°,
∵在△AOC中,OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC=45°,
又∵∠ACD=45°,
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°+45°=90°,
∴OC⊥CD.
即CD是⊙O的切線
(2)解:連接OB.
∵∠ABC=45°,∠D=30°,∠ACD=∠ABC=45°,
∴在△BCD中,∠BCD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣45°﹣30°=105°,
∴∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=105°﹣45°=60°,
∴∠AOB=2∠ACB=120°,
∴ 的長(zhǎng)為: = .
【解析】(1)證明:連接OA、OC,得到∠AOC=2∠ABC=90°,求得∠OCA=∠OAC=45°,于是得到OC⊥CD.由切線的判定定理即可得到結(jié)論;(2)連接OB.根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=105°﹣45°=60°,由圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用三角形的外接圓與外心和切線的判定定理,掌握過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步提升企業(yè)產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)力,某企業(yè)加大了科研經(jīng)費(fèi)的投入,2016年該企業(yè)投入科研經(jīng)費(fèi)5000萬元,2018年投入科研經(jīng)費(fèi)7200萬元,假設(shè)該企業(yè)這兩年投入科研經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同.
求這兩年該企業(yè)投入科研經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率.
若該企業(yè)科研經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率,請(qǐng)你預(yù)算2020年該企業(yè)投入科研經(jīng)費(fèi)多少萬元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某樓盤要對(duì)外銷售該樓盤共23層,銷售價(jià)格如下:第八層樓房售價(jià)為4000元米,從第八層起每上升一層,每平方米的售價(jià)提高50元;反之,樓層每下降一層,每平方米的售價(jià)降低30元,
請(qǐng)寫出售價(jià)元米與樓層x取整數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式.
已知該樓盤每套樓房面積均為100米,若購買者一次性付清所有房款,開發(fā)商有兩種優(yōu)惠方案:
方案一:降價(jià),另外每套樓房總價(jià)再減a元;
方案二:降價(jià).
老王要購買第十六層的一套樓房,若他一次性付清購房款,請(qǐng)幫他計(jì)算哪種優(yōu)惠方案更加合算.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角三角形中,,點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上,將沿著直線EF折疊,使得A點(diǎn)恰好落在BC邊上的D點(diǎn)處,且.
求證:四邊形AFDE是菱形.
若,,求線段ED的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為1的正方形OAP1B的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上,點(diǎn)P1在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,過P1A的中點(diǎn)B1作矩形B1AA1P2 , 使頂點(diǎn)P2落在反比例函數(shù)的圖象上,再過P2A1的中點(diǎn)B2作矩形B2A1A2P3 , 使頂點(diǎn)P3落在反比例函數(shù)的圖象上,…,依此規(guī)律,作出矩形Bn﹣1An﹣2An﹣1Pn時(shí),落在反比例函數(shù)圖象上的頂點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為豐富學(xué)生的校園生活,某校舉行“與愛同行”朗誦比賽,賽后整理參賽同學(xué)的成績(jī),繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息解答下列問題.
組別 | 成績(jī)x(分) | 頻數(shù)(人數(shù)) |
A | 8.0≤x<8.5 | a |
B | 8.5≤x<9.0 | 8 |
C | 9.0≤x<9.5 | 15 |
D | 9.5≤x<10 | 3 |
(1)圖中a= , 這次比賽成績(jī)的眾數(shù)落在組;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)學(xué)校決定選派本次比賽成績(jī)最好的3人參加全市中學(xué)生朗誦比賽,并為參賽選手準(zhǔn)備了2件白色、1件藍(lán)色上衣和黑色、藍(lán)色、白色的褲子各1條,小軍先選,他從中隨機(jī)選取一件上衣和一條褲子搭配成一套衣服,請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求出上衣和褲子搭配成不同顏色的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABE≌△ADC≌△ABC,若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,則∠α的度數(shù)為( )
A. 80° B. 100° C. 60° D. 45°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知O為直線AB上一點(diǎn),OC平分∠AOD,∠BOD=4∠DOE,∠COE=,則∠BOE的度數(shù)為( )
A. 360°-4 B. 180°-4 C. D. 270°-3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線:分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C,且與直線:交于點(diǎn)A.
分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
直接寫出關(guān)于x的不等式的解集;
若D是線段OA上的點(diǎn),且的面積為12,求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.
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