Question

【題目】如圖，工人師傅用一塊長(zhǎng)為10分米，寬為6分米的矩形鐵皮制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，需要將四角各裁掉一個(gè)正方形；（厚度不計(jì)）

（1）當(dāng)長(zhǎng)方體底面面積為12平方分米時(shí)，裁掉的正方形邊長(zhǎng)為______分米；

（2）若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的5倍，且將容器的外表面進(jìn)行防銹處理，其側(cè)面處理費(fèi)用為0.5元/平方分米，底面處理費(fèi)用為2元/平方分米；求：裁掉的正方形邊長(zhǎng)為多大時(shí)，防銹處理總費(fèi)用最低，最低為多少？

Answer 1

【答案】（1）裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm；（2）裁掉的正方形邊長(zhǎng)為3.5分米時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為31元．

【解析】

(1)由設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm，用x的代數(shù)式表示長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)矩形的面積公式列出方程，可求得答案；

(2)由條件“制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的5倍“列出不等式，可求得x的取值范圍，用x可表示出總費(fèi)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，可求得答案．

(1)設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm，

由題意可得(10-2x)(6-2x)=12，

即x2-8x+12=0，

解得x=2或x=6(舍去)，

答：裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm；

(2)設(shè)總費(fèi)用為y元，

則y=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]

=4x2-60x+192

=4(x-7.5)2-33，

又∵12-2x≤5(8-2x)，

∴x≤3.5，

∵a=4＞0，

∴當(dāng)x＜7.5時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=3.5時(shí)，y取得最小值，最小值為31，

答：裁掉的正方形邊長(zhǎng)為3.5分米時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為31元．