【題目】愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí),發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AN⊥BN于點(diǎn)P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
(1)如圖1,當(dāng)tan∠PAB=1,c=4時(shí),a= ,b= ;
如圖2,當(dāng)∠PAB=30°,c=2時(shí),a= ,b= ;
【歸納證明】
(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來(lái),并利用圖3證明你的結(jié)論.
【拓展證明】
(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn),且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點(diǎn)G,AD=3,AB=3,求AF的長(zhǎng).
【答案】(1)4,4;,.(2)a2+b2=5c2,理由見(jiàn)解析.(3)4.
【解析】
試題分析:(1)①首先證明△APB,△PEF都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.②連接EF,在RT△PAB,RT△PEF中,利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.(2)結(jié)論a2+b2=5c2.設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題.(3)取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn),首先證明△ABF是中垂三角形,利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題.
試題解析:(1)解:如圖1中,∵CE=AE,CF=BF,
∴EF∥AB,EF=AB=2,
∵tan∠PAB=1,
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°,
∴PF=PE=2,PB=PA=4,
∴AE=BF==2.
∴b=AC=2AE=4,a=BC=4.
如圖2中,連接EF,
,∵CE=AE,CF=BF,
∴EF∥AB,EF=AB=1,
∵∠PAB=30°,
∴PB=1,PA=,
在RT△EFP中,∵∠EFP=∠PAB=30°,
∴PE=,PF=,
∴AE==,BF==,
∴a=BC=2BF=,b=AC=2AE=,
(2)結(jié)論
證明:如圖3中,連接EF.
∵AF、BE是中線,
∴EF∥AB,EF=AB,
∴△FPE∽△APB,
∴==,
設(shè)FP=x,EP=y,則AP=2x,BP=2y,
∴a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2,
b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2,
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2,
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解:如圖4中,在△AGE和△FGB中,
,
∴△AGE≌△FGB,
∴BG=FG,取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn),
同理可證△APH≌△BFH,
∴AP=BF,PE=CF=2BF,
即PE∥CF,PE=CF,
∴四邊形CEPF是平行四邊形,
∴FP∥CE,
∵BE⊥CE,
∴FP⊥BE,即FH⊥BG,
∴△ABF是中垂三角形,
由(2)可知AB2+AF2=5BF2,
∵AB=3,BF=AD=,
∴9+AF2=5×()2,
∴AF=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)作圖題:某學(xué)校正在進(jìn)行校園環(huán)境的改造工程設(shè)計(jì), 準(zhǔn)備在校內(nèi)一塊四邊形花壇內(nèi)栽上一棵黃桷樹.如圖,要求黃桷樹的位置點(diǎn)P到邊AB、BC的距離相等,并且點(diǎn)P到點(diǎn)A、D的距離也相等.請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出栽種黃桷樹的位置點(diǎn)P(不寫作法,保留作圖痕跡).
(2)用如圖(1)所示的瓷磚拼成一個(gè)正方形,使拼成的圖案成軸對(duì)稱圖形,請(qǐng)你在圖(2)、圖(3)、圖(4)中各畫出一種拼法.(要求三種拼法各不相同,所畫圖案中的陰影部分用斜線表示)
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中,正確的有( )
①等腰三角形的兩腰相等;②等腰三角形的兩底角相等;③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等;④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列圖形中,①圓;②平行四邊形;③長(zhǎng)方形;④等腰三角形.其中是中心對(duì)稱圖形有______個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上把表示2的點(diǎn)向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是( )
A. 7 B. ﹣3 C. 6 D. 8
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