【題目】已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△ACD中,AC=BC,∠ACB=90°,∠ADC=90°,CD=2,(點A、B分別在直線CD的左右兩側(cè)),射線CD交邊AB于點E,點G是Rt△ABC的重心,射線CG交邊AB于點F,AD=x,CE=y.
(1)求證:∠DAB=∠DCF.
(2)當(dāng)點E在邊CD上時,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.
(3)如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形,試求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)AD=1或.
【解析】
(1)首先根據(jù)點G是Rt△ABC的重心,得出CF是Rt△ABC的中線.,又由AC=BC,∠ACB=90°,得出CF⊥AB,即∠AFC=90°,然后等量轉(zhuǎn)換即可得出∠DAB=∠DCF;
(2)首先判定△CAD≌△BCH,得出BH = CD,CH = AD,又根據(jù)∠ADC=∠BHC=90°,得出AD∥BH,進(jìn)而得出,列出等式,即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)分兩種情況進(jìn)行求解:①當(dāng)GC=GD時,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出MD=MC,進(jìn)而得出MG⊥CD,且直線MG經(jīng)過點B,那么BH與MG共線,即可得出AD;②當(dāng)CG=CD時,CG=2,點G為△ABC的重心,然后運用勾股定理即可得出AD.
(1)證明:∵點G是Rt△ABC的重心,
∴CF是Rt△ABC的中線.
又∵在Rt△ABC,AC=BC,∠ACB=90°,
∴CF⊥AB,即∠AFC=90°.
∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF,且∠ADE=∠EFC=90°,
∴∠DAB=∠DCF.
(2)解:如圖,過點B作BH⊥CD于點H.
∴△CAD≌△BCH(ASA).
∴BH = CD = 2,CH = AD = x,DH = 2-x.
∵∠ADC=∠BHC=90°
∴AD∥BH.
∴.
,,.
.
(3)解:當(dāng)GC=GD時,如圖1,
取AC的中點M,聯(lián)結(jié)MD.那么MD=MC,
聯(lián)結(jié)MG,MG⊥CD,且直線MG經(jīng)過點B.那么BH與MG共線.
又CH=AD,那么AD=CH=.
當(dāng)CG=CD時,如圖2,即CG=2,點G為△ABC的重心,
,AB=2CF=6,,
.
綜上所述,AD=1或.
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【題目】已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).
(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時,求AB及PD的長;
(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大。
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【題目】如圖1,中,,是的中點,平分交于點,在的延長線上且.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)如圖2若四邊形是菱形,連接,,與交于點,連接,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中的所有等邊三角形.
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【題目】如圖,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1為直角邊作等腰Rt△OA1A2,以OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A3,…則OA8的長度為_____.
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【題目】如圖,已知⊙O的半徑為5,弦AB=8,CD=6,則圖中陰影部分面積為( )
A. π–24 B. 9π C. π–12 D. 9π–6
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【題目】一張直角三角形紙片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,點D為BC邊上的任一點,沿過點D的直線折疊,使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處,當(dāng)△BDE是直角三角形時,則CD的長為________.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,E、F是AC上的兩點,當(dāng)E、F滿足下列哪個條件時,四邊形DEBF不一定是平行四邊形( 。
A.∠ADE=∠CBFB.∠ABE=∠CDFC.DE=BFD.OE=OF
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【題目】某商店銷售一種商品,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品的周銷售量(件)是售價(元/件)的一次函數(shù).其售價、周銷售量、周銷售利潤(元)的三組對應(yīng)值如下表:
售價(元/件) | 50 | 60 | 80 |
周銷售量(件) | 100 | 80 | 40 |
周銷售利潤(元) | 1000 | 1600 | 1600 |
注:周銷售利潤=周銷售量×(售價-進(jìn)價)
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式(不寫出自變量的取值范圍);
(2)該商品進(jìn)價是 元/件;求售價是多少元/件時,周銷售利潤最大,最大利潤是多少元?
(3)由于某種原因,該商品進(jìn)價提高了元/件(),物價部門規(guī)定該商品售價不得超過65元/件.該商店在今后的銷售中,周銷售量與售價仍然滿足(1)中函數(shù)關(guān)系.若周銷售最大利潤是1400元,則的值為 .
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