【題目】如圖1,對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c,與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),且點A坐標為(-1,0).又P是拋物線上位于第一象限的點,直線AP與y軸交于點D,與拋物線對稱軸交于點E,點C與坐標原點O關于該對稱軸成軸對稱.
(1)求點 B 的坐標和拋物線的表達式;
(2)當 AE:EP=1:4 時,求點 E 的坐標;
(3)如圖 2,在(2)的條件下,將線段 OC 繞點 O 逆時針旋轉得到 OC ′,旋轉角為 α(0°<α<90°),連接 C ′D、C′B,求 C ′B+ C′D 的最小值.
【答案】(1)B(3,0);拋物線的表達式為:y=x2-x-;(2)E(1,6);(3)C′B+C′D的最小值為.
【解析】試題分析:(1)由拋物線的對稱軸和過點A ,即可得到拋物線的解析式,令y=0,解方程可得B的坐標;
(2)過點P作PF⊥x軸,垂足為F.由平行線分線段弄成比例定理可得===,從而求出E的坐標;
(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函數(shù)表達式為y=3x+3,得到D(0,3).
如圖,取點M(0, ),連接MC′、BM.則可求出OM,BM的長,得到△MOC′∽△C′OD.進而得到MC′=C′D,由C′B+C′D=C′B+MC′≥BF可得到結論.
試題解析:解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1,∴-=1,∴b=-1.
∵拋物線過點A(-1,0),∴-b+c=0,解得:c=-,
即:拋物線的表達式為:y=x2-x-.
令y=0,則x2/span>-x-=0,解得:x1=-1,x2=3,即B(3,0);
(2)過點P作PF⊥x軸,垂足為F.
∵EG∥PF,AE:EP=1:4,∴===.
又∵AG=2,∴AF=10,∴F(9,0).
當x=9時,y=30,即P(9,30),PF=30,∴EG=6,∴E(1,6).
(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函數(shù)表達式為y=3x+3,則D(0,3).
∵原點O與點C關于該對稱軸成軸對稱,∴EG=6,∴C(2,0),∴OC′=OC=2.
如圖,取點M(0, ),連接MC′、BM.則OM=,BM==.
∵, ,且∠DOC′=∠C′OD,∴△MOC′∽△C′OD.∴,∴MC′=C′D,∴C′B+C′D=C′B+MC′≥BM=,∴C′B+C′D的最小值為.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,D是AC中點,BE平分∠ABD交AC于點E,點O是AB上一點,⊙O過B、E兩點,交BD于點G,交AB于點F.
(1)判斷直線AC與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)當BD=6,AB=10時,求⊙O的半徑.
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【題目】在平面直角坐標中,邊長為 2 的正方形 OABC 的兩頂點 A、C 分別在 y 軸、x 軸的正半軸上,點 O 在原點.現(xiàn)將正方形 OABC 繞 O 點順時針旋轉,當 A 點第一次落在直線 y=x 上時停止旋轉,旋轉過程中,AB 邊交直線 y=x于點 M,BC 邊交 x 軸于點 N(如圖).
(1)求邊 OA 在旋轉過程中所掃過的面積;
(2)旋轉過程中,當 MN 和 AC 平行時,求正方形 OABC 旋轉的度數(shù);
(3)試證明在旋轉過程中, △MNO 的邊 MN 上的高為定值;
(4)設△MBN 的周長為 p,在旋轉過程中,p 值是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,說明理由;若不發(fā)生變化,請給予證明,并求出 p 的值.
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【題目】把邊長為1厘米的6個相同正方體擺成如圖的形式.
(1)畫出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖;
(2)直接寫出該幾何體的表面積為 cm2(包括底面);
(3)如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體,并保持這個幾何體的左視圖和俯視圖不變,那么最多可以再添加 小正方體.
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【題目】3 月初某商品價格上漲,每件價格上漲 20%.用 3000 元買到的該商品 件數(shù)比漲價前少 20 件.3 月下旬該商品開始降價,經(jīng)過兩次降價后,該商品價格為每 件 19.2 元.
(1)求 3 月初該商品上漲后的價格;
(2)若該商品兩次降價率相同,求該商品價格的平均降價率.
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【題目】觀察圖形,解答問題:
(1)按下表已填寫的形式填寫表中的空格:
圖① | 圖② | 圖③ | |
三個角上三個數(shù)的積 | 1×(-1)×2=-2 | (-3)×(-4)×(-5)=-60 | |
三個角上三個數(shù)的和 | 1+(-1)+2=2 | (-3)+(-4)+(-5)=-12 | |
積與和的商 | (-2)÷2=-1 |
(2)請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)x和圖⑤中的數(shù)y.
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【題目】 A、B兩地相距45千米,甲汽車以每小時50千米的速度從A地出發(fā),乙汽車以每小時40千米的速度從B地出發(fā)
(1)若兩車同時出發(fā),相向而行,問經(jīng)過幾小時,兩車相距30千米?
(2)若兩車同時出發(fā),同向而行,問經(jīng)過幾小時,兩車相距30千米?
(3)若乙車先出發(fā)半小時,同向而行,則經(jīng)過幾小時,兩車相距30千米?
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【題目】近幾年,隨著電子商務的快速發(fā)展,“電商包裹件”占“快遞件”總量的比例逐年增長,根據(jù)企業(yè)財報,某網(wǎng)站得到如下統(tǒng)計表:
(1)請選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖,描述2014﹣2017年“電商包裹件”占當年“快遞件”總量的百分比(精確到1%);
(2)若2018年“快遞件”總量將達到675億件,請估計其中“電商包裹件”約為多少億件?
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【題目】甲、乙兩家商場以同樣的價格出售同樣的電器,但各自推出的優(yōu)惠方案不同.甲商場規(guī)定:凡超過 元的電器,超出的金額按 收取;乙商場規(guī)定:凡超過 元的電器,超出的金額按 收。愁櫩唾徺I的電器價格是 元.
(1)當 時,該顧客應選擇在 商場購買比較合算;
(2)當 時,分別用代數(shù)式表示在兩家商場購買電器所需付的費用;
(3)當 時,該顧客應選擇哪一家商場購買比較合算?說明理由.
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